跳到主要內容

[數學分析] Partitions of Unity

Partition of Unity 一般中文翻譯成單位分解,其想法為 透過巧妙手法建構 $1$ !

介紹之前先引入 support 的概念
============
Definition: 函數的支撐集 (Support of a Function)
令函數 $f:E \to \mathbb{R}^n$,並考慮集合
\[
A:=\{x \in E: f(x) \neq 0\}
\]我們稱 closure $\bar A$ 為 函數 $f$ 的 support (i.e., support of a function $f$),一般記作 $supp (f)$
============

Comments:
1. 上述定義告訴我們 函數的支撐集 為 closed set,換言之, $supp(f)$ 的補集為 open set,且我們可以將其表為
\[
E \setminus supp(f) = int\{ x \in E : f(x) = 0\}
\]
2. 事實上在數學分析中,support 概念上雖然大多相同,但實質上在不同體裁中有多種不同定義,比如在機率論中給定隨機變數(可測函數 $X$) 具有分佈 $f_X$ 則我們可定義 分佈函數的 support 如下:對任意 $x \in supp(f_X)$,存在一鄰域 $N(x)$ 使得機率
\[
P( X \in N(x)) >0
\]

============
Theorem: 
假設 $K \subset \mathbb{R}^n$ 為 compact 且 $\{V_{\alpha}\}$ 為 open cover of $K$。則存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\mathbb{R}^n)$ 使得
    (a) $0 \le \psi_i \le 1$ 對任意 $1 \le i \le s$
    (b) 對某些 $V_\alpha$而言,每一個 $\psi_i$ 都有 support
    (c) 對任意 ${\bf x} \in K$而言,$\psi_1({\bf x})+...+\psi_s({\bf x}) = 1$ 
============

Proof:
首先證明 存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\mathbb{R}^n)$ :
令 $x \in K$ 且讓 $\alpha(x)$ 記為 index 滿足 $x \in V_{\alpha(x)}$。現在選兩 open ball $B, W \subset V_\alpha$ 使得
\[
\bar B(x) \subset W(x) \subset \bar W(x) \subset V_{\alpha(x)}
\]注意到由於 $K$ 為 compact 且 $B \subset V_{\alpha(x)}$ 故我們仍可用 一堆 open set $B$ 蓋住 $K$,亦即 $K \subset \cup_{x \in K} B(x)$。由 compactness 可知,我們可選 有限個 subcover with centers $x_1,...,x_s$  來蓋住 $K$ 亦即
\[
K \subset B(x_1) \cup B(x_2) \cup ... \cup B(x_s)
\]現在定義輔助函數 $\phi_i$ 為 連續函數 且滿足
\[{\varphi _i}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x \in B\left( {{x_i}} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x \in W{\left( {{x_i}} \right)^c}
\end{array} \right.\]我們將利用上述 $\varphi_i$ 來定義我們所需要的 $\psi_i$,亦即
\[ \small \left\{ \begin{array}{l}
{\psi _1}\left( x \right): = {\varphi _1}\left( x \right)\\
{\psi _{i + 1}}\left( x \right): = \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right)\left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right){\varphi _{i + 1}}\left( x \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}for\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}1 \le i \le s - 1
\end{array} \right.\]
接著我們證明 上述所構造的函數 $\psi_i$ 滿足我們需要的三個條件。首先檢驗條件 (1):
給定任意 $1 \le i \le s$,要證明 $0 \le \psi_i \le 1$ ,由 $\psi$ 函數的構造可知此條件自動滿足(why? 因為 $\varphi_i $ 非 $1$ 即 $0$ ...)

接著檢驗條件2:存在 $V_\alpha$ 使得,每一個 $\psi_i$ 都有 support。
注意到在 $B(x_1) \cup B(x_2) \cup ... \cup B(x_i) \cup W(x_{i+1})^c$ 時, $\psi_{i+1} =0$ 也就是說 $\psi_i \neq 0$ 只有發生在上述集合的補集之中,故可寫
\[\begin{array}{l}
{\rm{supp}}({\psi _{i + 1}}) \subset {\left( {B({x_1}) \cup ... \cup B({x_i}) \cup W{{({x_{i + 1}})}^c}} \right)^c}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {{B^c}({x_1}) \cap ... \cap {B^c}({x_i}) \cap W({x_{i + 1}})} \right] \subset W({x_{i + 1}}) \subset \bar W({x_{i + 1}}) \subset {V_\alpha }({x_{i + 1}})
\end{array}\]上式對任意 $i$ 都成立,故我們確實找到了對應的 $V_\alpha$ 使得,每一個 $\psi_i$ 都有 support。

最後檢驗條件3:給定任意 ${\bf x} \in K$,要證明 $\psi_1({\bf x})+...+\psi_s({\bf x}) = 1$
證明之前我們先引入一個稍後會用到的等式:

Claim: 下列等式成立 \[\sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\]

Proof:
考慮 $i=1$,${\psi _1}\left( x \right) = 1$ 自動成立。
接著我們利用 induction method 證明 Claim 的等式成立,故假設 
\[\sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\]我們要證明
\[\sum\limits_{j = 1}^{i + 1} {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\left( {1 - {\varphi _{i + 1}}\left( x \right)} \right)\]觀察
\[\small \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{j = 1}^{i + 1} {{\psi _j}\left( x \right)} = \sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)} + {\psi _{j + 1}}\left( x \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right) + \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right){\varphi _{i + 1}}\left( x \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\left[ {1 - {\varphi _{i + 1}}\left( x \right)} \right]} \end{array}
\]故 得證 Claim。

現在回頭證明條件3:給定任意 ${\bf x} \in K$,則 $x \in B(x_i)$ 對任意 $1 \le i \le s$;亦即 $\varphi_i(x) =1$ (由 $\varphi_i$ 的定義) 故由上述 Claim 可推知
\[\sum\limits_{j = 1}^s {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \underbrace {\left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)}_{ = 0} = 1\]



Corollary:
若 $f \in C(\mathbb{R}^n)$ 且 support of $f$ lies in $K$,則\[ f = \sum_{i=1}^s \psi_i f \]且每一個 $\psi_i f$ 有其 support 在 $V_\alpha$

留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if  ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做  若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。 在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種 雙條件句 ,通常可以直接將其視為" 定義(Definition)" 待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他 假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B. 注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。 現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B" 好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢? 事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是 "( A if B ) and ( A only if B )" 那麼先針對第一個部分  A if B  來看, 其實這句就是說  if B then A, 更直白一點就是 "if B is true, then A is also true".  在數學上等價可以寫為 "B implies A" .  或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A"  現在針對第二個部分  A only if B 此句意指  "If B is not true, then A is also not true". 所以如果已知 A is true,  那麼按照上句不難推得 B is also true 也就是說  A only if B  等價為 "If A is true then B is also true". 同樣,也可以寫作   "A implies B"   或者用箭頭表示  "A   $\Rightarrow$     B".

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣), 也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。 事實上想法是這樣的: 比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "! 但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說 \[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T \]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$??? 再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right] \],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。 也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。 故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來) ================== Definition: Norm 考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質