[數學分析] Partitions of Unity

Partition of Unity 一般中文翻譯成單位分解，其想法為 透過巧妙手法建構 $1$ !

介紹之前先引入 support 的概念
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Definition: 函數的支撐集 (Support of a Function)
令函數 $f:E \to \mathbb{R}^n$，並考慮集合
$$A:=\{x \in E: f(x) \neq 0\}$$ 我們稱 closure $\bar A$ 為 函數 $f$ 的 support (i.e., support of a function $f$)，一般記作 $supp (f)$
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Comments:
1. 上述定義告訴我們 函數的支撐集 為 closed set，換言之， $supp(f)$ 的補集為 open set，且我們可以將其表為
$$E \setminus supp(f) = int\{ x \in E : f(x) = 0\}$$

2. 事實上在數學分析中，support 概念上雖然大多相同，但實質上在不同體裁中有多種不同定義，比如在機率論中給定隨機變數(可測函數 $X$) 具有分佈 $f_X$ 則我們可定義 分佈函數的 support 如下：對任意 $x \in supp(f_X)$，存在一鄰域 $N(x)$ 使得機率
$$P( X \in N(x)) >0$$

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Theorem: 
假設 $K \subset \mathbb{R}^n$ 為 compact 且 $\{V_{\alpha}\}$ 為 open cover of $K$。則存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\mathbb{R}^n)$ 使得
    (a) $0 \le \psi_i \le 1$ 對任意 $1 \le i \le s$
    (b) 對某些 $V_\alpha$而言，每一個 $\psi_i$ 都有 support

    (c) 對任意 ${\bf x} \in K$而言，$\psi_1({\bf x})+...+\psi_s({\bf x}) = 1$ 

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Proof:
首先證明 存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\mathbb{R}^n)$ ：
令 $x \in K$ 且讓 $\alpha(x)$ 記為 index 滿足 $x \in V_{\alpha(x)}$。現在選兩 open ball $B, W \subset V_\alpha$ 使得
$$\bar B(x) \subset W(x) \subset \bar W(x) \subset V_{\alpha(x)}$$ 注意到由於 $K$ 為 compact 且 $B \subset V_{\alpha(x)}$ 故我們仍可用 一堆 open set $B$ 蓋住 $K$，亦即 $K \subset \cup_{x \in K} B(x)$。由 compactness 可知，我們可選 有限個 subcover with centers $x_1,...,x_s$  來蓋住 $K$ 亦即
$$K \subset B(x_1) \cup B(x_2) \cup ... \cup B(x_s)$$ 現在定義輔助函數 $\phi_i$ 為 連續函數 且滿足
$${\varphi _i}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}x \in B\left( {{x_i}} \right)\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}x \in W{\left( {{x_i}} \right)^c} \end{array} \right.$$ 我們將利用上述 $\varphi_i$ 來定義我們所需要的 $\psi_i$，亦即
$$\small \left\{ \begin{array}{l} {\psi _1}\left( x \right): = {\varphi _1}\left( x \right)\\ {\psi _{i + 1}}\left( x \right): = \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right)\left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right){\varphi _{i + 1}}\left( x \right)\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}for\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}1 \le i \le s - 1 \end{array} \right.$$
接著我們證明 上述所構造的函數 $\psi_i$ 滿足我們需要的三個條件。首先檢驗條件 (1)：
給定任意 $1 \le i \le s$，要證明 $0 \le \psi_i \le 1$ ，由 $\psi$ 函數的構造可知此條件自動滿足(why? 因為 $\varphi_i$ 非 $1$ 即 $0$ ...)

接著檢驗條件2：存在 $V_\alpha$ 使得，每一個 $\psi_i$ 都有 support。
注意到在 $B(x_1) \cup B(x_2) \cup ... \cup B(x_i) \cup W(x_{i+1})^c$ 時， $\psi_{i+1} =0$ 也就是說 $\psi_i \neq 0$ 只有發生在上述集合的補集之中，故可寫
$$\begin{array}{l} {\rm{supp}}({\psi _{i + 1}}) \subset {\left( {B({x_1}) \cup ... \cup B({x_i}) \cup W{{({x_{i + 1}})}^c}} \right)^c}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \left[ {{B^c}({x_1}) \cap ... \cap {B^c}({x_i}) \cap W({x_{i + 1}})} \right] \subset W({x_{i + 1}}) \subset \bar W({x_{i + 1}}) \subset {V_\alpha }({x_{i + 1}}) \end{array}$$ 上式對任意 $i$ 都成立，故我們確實找到了對應的 $V_\alpha$ 使得，每一個 $\psi_i$ 都有 support。

最後檢驗條件3：給定任意 ${\bf x} \in K$，要證明 $\psi_1({\bf x})+...+\psi_s({\bf x}) = 1$

證明之前我們先引入一個稍後會用到的等式：

Claim: 下列等式成立 $$\sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)$$

Proof:

考慮 $i=1$，${\psi _1}\left( x \right) = 1$ 自動成立。

接著我們利用 induction method 證明 Claim 的等式成立，故假設 

$$\sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)$$ 我們要證明

$$\sum\limits_{j = 1}^{i + 1} {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\left( {1 - {\varphi _{i + 1}}\left( x \right)} \right)$$ 觀察
$$\small \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{j = 1}^{i + 1} {{\psi _j}\left( x \right)} = \sum\limits_{j = 1}^i {{\psi _j}\left( x \right)} + {\psi _{j + 1}}\left( x \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right) + \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right){\varphi _{i + 1}}\left( x \right)}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = 1 - \left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)\left[ {1 - {\varphi _{i + 1}}\left( x \right)} \right]} \end{array}$$ 故 得證 Claim。

現在回頭證明條件3：給定任意 ${\bf x} \in K$，則 $x \in B(x_i)$ 對任意 $1 \le i \le s$；亦即 $\varphi_i(x) =1$ (由 $\varphi_i$ 的定義) 故由上述 Claim 可推知

$$\sum\limits_{j = 1}^s {{\psi _j}\left( x \right)}  = 1 - \underbrace {\left( {1 - {\varphi _1}\left( x \right)} \right) \cdots \left( {1 - {\varphi _i}\left( x \right)} \right)}_{ = 0} = 1$$

Corollary:

若 $f \in C(\mathbb{R}^n)$ 且 support of $f$ lies in $K$，則 $$f = \sum_{i=1}^s \psi_i f$$ 且每一個 $\psi_i f$ 有其 support 在 $V_\alpha$