令轉移函數 $G(s) := \frac{N(s)}{D(s)}$,其中 $N(s)$ 與 $D(s)$ 分別為 $s$ 的多項式,現在考慮 $G(s)$ 分母階數 比 分子階數高,亦即 \[ deg N(s) < deg D(s) \] 我們稱此 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。 Example 1: \[ G(s) = \frac{s-1}{(s+2)(s+5)} \] 為嚴格真分有理函數。 Example 2: \[ G(s) = \frac{(s +1)(s+10)}{(s+2)(s+5)} \] 不為嚴格真分有理函數。 若 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數,則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 $G(s)$ 部分分式的寫作如下: \[\begin{array}{l} G\left( s \right) = \underbrace {\frac{A}{{s + a}}}_{{\rm{single}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{root}}} + \underbrace {\frac{{{B_3}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^3}}} + \frac{{{B_2}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^1}}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{roots}}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} + \underbrace {\left( {\frac{{{C_1}}}{\omega }} \right)\frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{\omega }} \right)\frac{{s + \alpha
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya