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[線性系統] 轉移函數的部分分式展開 與其對應的 反拉式轉換

令轉移函數 $G(s) := \frac{N(s)}{D(s)}$,其中 $N(s)$ 與 $D(s)$ 分別為 $s$ 的多項式,現在考慮 $G(s)$ 分母階數 比 分子階數高,亦即
\[
deg N(s) < deg D(s)
\] 我們稱此 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。

Example 1:
\[
G(s) = \frac{s-1}{(s+2)(s+5)}
\] 為嚴格真分有理函數。

Example 2:
\[
G(s) = \frac{(s +1)(s+10)}{(s+2)(s+5)}
\] 不為嚴格真分有理函數。

若 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數,則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 $G(s)$ 部分分式的寫作如下:
\[\begin{array}{l}
G\left( s \right) = \underbrace {\frac{A}{{s + a}}}_{{\rm{single}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{root}}} + \underbrace {\frac{{{B_3}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^3}}} + \frac{{{B_2}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^1}}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\left( {\frac{{{C_1}}}{\omega }} \right)\frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{\omega }} \right)\frac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha …

[講義] 主日學中級班課程講義

2012 Spring.
012812-你很特別
簡介: 此次以繪本授課。講義如附檔

012812-誰是第一名
簡介: 此次以繪本授課。講義如附檔

031012-Lecture 2 以馬內利
參考經節: 以賽亞書7-12章
簡介: 此次介紹大先知以賽亞以及當時所發生的故事。講義如附檔 ====================================================
2011 Fall 091811-Lecture 3:世紀大災難
參考經節: 出埃及記7-10章
簡介: 此回介紹摩西帶領以色列人出埃及前,受到法老王阻撓而上帝降下大災難的故事。講義如附檔 100211-Lecture4:最後的懲罰
參考經節: 出埃及記11-13章
簡介: 此回承接先前介紹摩西帶領以色列人出埃及前,
受到法老王阻撓,上帝降下9災的故事。而本次將講述第十災難
也是最後的懲罰。講義如附檔

101611-Lecture7:葉忒羅獻策
參考經節: 出埃及記18章
簡介: 此回承接先前故事,摩西順利帶領以色列人出埃及之後,摩西本人卻遭遇了大麻煩。他一個人難以處理眾多以色列百姓困難,他會如何解決呢?講義如附檔

112011-Lecture12:火蛇與銅蛇
參考經節:民數記21章
簡介: 以色列人在曠野中行路,卻不顧上主帶領心生埋怨,於是上主派火蛇攻擊他們。以及使用銅蛇醫治他們。最後揭示銅蛇與現代醫學之間關係。講義如附檔

121711-良善Pizza屋
簡介: 此次以繪本授課。講義如附檔

123111-花婆婆
簡介: 此次以繪本授課。講義如附檔

==================================================== 2011 Spring 072411-Lecture8:勇敢女子
參考經節: 士師記 4-5章
簡介: 此回介紹以色列第一位女士師底波拉與奇女子雅憶故事。講義如附檔 082011-Lecture12:參孫復仇
參考經節: 士師記 13-16章
簡介: 此回介紹以色列士師參孫的故事。講義如附檔
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[線性系統] 動態方程式的求解(1) - LTI state equation

延續上篇,這次我們要介紹 線性非時變系統 (Linear Time-Invariant (LTI) System) 的求解。

考慮 LTI 動態系統的 狀態空間表示:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)}\\
{{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{Cx}}\left( t \right) + {\bf{Du}}\left( t \right)}
\end{array}} \right.
\]其中 $\bf{A}(\cdot), \bf{B}(\cdot), \bf{C}(\cdot),$ 與 $\bf{E}(\cdot)$ 為 $n \times n, n \times p, q \times n,$ 與 $q \times p$  常數矩陣。


我們的目標: 求解 $\bf{x}(t)$。

在求解之前我們需要一些 exponential function ${e^{  {\bf{A}}t}}$的 FACTs:
首先回憶若令 $\bf A = a$ 亦即不再是矩陣而是一個常數 $a$,則 $e^{at}$ 具有 Taylor series 如下
\[{e^{at}}: = 1 + at + \frac{{{a^2}{t^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{a^n}{t^n}}}{{n!}} + ...\]故若現在讓 $a$ 變回矩陣 $\bf A$ 則我們有
\[{e^{{\bf{A}}t}}: = {\bf{I}} + {\bf{A}}t + \frac{1}{{2!}}{{\bf{A}}^2}{t^2} + ... + \frac{1}{{n!}}{{\bf{A}}^n}{t^n} + ...
\]那麼下面幾個性質,讀者可以使用上述定義直接驗證。
=====================
FACT 1: Inverse property
\[
{e^{  {\bf{A}}t}}{e^{ - {\bf{A}}t}} = \bf{I}.
\]FACT 2: Identity matrix
\[
e^{\bf{0}} …

[線性系統] 動態方程式的求解(0) - Review 1st ODE, DE, & $e^{At}$

在求解動態方程是之前,我們先回顧一下基本 一階常微分方程的求解:

Example 1
試求解
\[
\dot {x} = a x, \ x(t_0) = x_0
\]其中 $a$ 為常數。
Solution
利用變數分離法:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{d}{{dt}}x\left( t \right) = ax\left( t \right)}\\
{ \Rightarrow \int_{{t_0}}^t {\frac{1}{{x\left( \tau  \right)}}dx\left( \tau  \right)}  = \int_{{t_0}}^t {ad\tau } }\\
{ \Rightarrow \left. {\ln \left( {x\left( \tau  \right)} \right)} \right|_{{t_0}}^t = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\
{ \Rightarrow \ln \left( {x\left( t \right)} \right) - \ln \left( {x\left( {{t_0}} \right)} \right) = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\
{ \Rightarrow \ln \left( {\frac{{x\left( t \right)}}{{{x_0}}}} \right) = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\
{ \Rightarrow x\left( t \right) = {x_0}{e^{a\left( {t - {t_0}} \right)}}}. \ \ \ \ \square
\end{array}
\]

Example 2
試求解
\[
\dot {x} = a x + bu, \ x(t_0) = x_0
\]其中 $a, b \neq 0$ 為常數。
Solution
上式為標準一階常微分方程,一般而言,微分方程的解可分為兩個部分
自由響應 (free response)又稱 零輸入響應(zero input response) ;亦即令 $u(t) = 0$ 所求得的解外力響應 (forced response) 又稱 零狀態響應 (zero st…

[隨筆] 時間謬論 Paradox of time

我想討論一個關於時間的概念,
這個概念體現了這世界一個非常有趣的觀點, 現在假設我們正處在人生的某個時間點,你可能把這段時間當成 無關緊要 甚至 稀鬆平常 的一日,但是對某些人而言,這個時間點卻可能無比重要;相反地,當某些人覺得不過是平凡一天的時光時,你卻可能正在經歷"你認為的"相當重要的事情,而且這件事會讓你覺得這個時間點即將發生的事件,將會嚴重影響妳往後人生路途,這種"所謂的"關鍵時刻蘊含相當大的焦慮與不安。 我們來假設你今天有個非常重要的行程 (基測/學測/TOEFL/GRE/面試/結婚/ whatever..)
在這個重要的時間點前,可能會感覺要無比緊張甚至認為幾乎就像是末日來臨

這時候,也許我們可以想想路上的行人,可能正在度過日復一日的"同一天"
他們也許想著每天的例行公事,走著每天必走的回家路,哼著重複的旋律

讓我們在進一步想想在這個重要時間點的隔天,隔一周,隔幾年之後的自己
當你想到當初是多麼手足無措時,會不會啞然失笑呢?

所以,讓我們試著放寬心,勇敢走下去好嗎:)