令轉移函數 G(s):=N(s)D(s),其中 N(s) 與 D(s) 分別為 s 的多項式,現在考慮 G(s) 分母階數 比 分子階數高,亦即
degN(s)<degD(s) 我們稱此 G(s) 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。
Example 1:
G(s)=s−1(s+2)(s+5) 為嚴格真分有理函數。
Example 2:
G(s)=(s+1)(s+10)(s+2)(s+5) 不為嚴格真分有理函數。
若 G(s) 為嚴格真分有理函數,則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 G(s) 部分分式的寫作如下:
G(s)=As+a⏟singleroot+B3(s+b)3+B2(s+b)2+B1(s+b)1⏟repetitiveroots+(C1ω)ω(s+α)2+ω2+(C2ω)s+α(s+α)2+ω2⏟conjugateroots其中 A,B3,B2,B1,C1,C2 為待定係數。且 −α±jω 為共軛複根。
我們看個例子如何求解 嚴格真分有理函數的 部分分式。
Example
試利用部分分式展開下列轉移函數
G(s)=s+3(s+2)(s2+2s+2)Solution
首先觀察 G(s) 確實為嚴格真分有理函數 (分母階數大於分子階數)。現在我們觀察 s2+2s+2 有一對 共軛複根 −1±j1 (亦即 −α±jω=−1±−j, α=1,ω=1 )
故 G(s) 部分分式可寫為
G(s)=As+2+(C21)1(s+1)2+12+(C21)s+1(s+1)2+12 其中 A,C1,C2 待定。
我們可首先求得 A=(s+2)G(s)|s=−2=12,接著求 C1 與 C2:
由
(s2+2s+2)G(s)|s=−1+j=s+3s+2|s=−1+j=(−1+j)+3(−1+j)+2=2+j1+j=(2+j)(1−j)(1+j)(1−j)=(2+j−2j−j2)1+1=3−j2=32⏟:=C1+j−12⏟:=C2故 G(s) 的部分分式為
G(s)=As+2+(C21)1(s+1)2+12+(C21)s+1(s+1)2+12=121s+2+321(s+1)2+12+(−12)s+1(s+1)2+12 ◻ 讀者可自行驗證 (透過通分) 上式確實為 G(s) 的部分分式展開。
一但獲得 部分分式,則我們可以直接由 拉式轉換表 獲得對應的反拉式轉換,現回憶我們先前討論的 轉移函數
G(s)=As+a⏟singleroot+B3(s+b)3+B2(s+b)2+B1(s+b)1⏟repetitiveroots+(C1ω)ω(s+α)2+ω2+(C2ω)s+α(s+α)2+ω2⏟conjugateroots 其對應的 反拉式轉換 (由拉式轉換表) 可馬上得知如下:
⇒L−1{⋅}g(t)=Ae−at+B2t22e−bt+B2te−bt+B1e−bt⏟repetitiveroots+C1ωe−αtsinωt+C2ωe−αtcosωt⏟conjugateroots
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya
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