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7/28/2011

[線性系統] 轉移函數的部分分式展開 與其對應的 反拉式轉換

令轉移函數 G(s):=N(s)D(s),其中 N(s)D(s) 分別為 s 的多項式,現在考慮 G(s) 分母階數 比 分子階數高,亦即
degN(s)<degD(s) 我們稱此 G(s) 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。

Example 1:
G(s)=s1(s+2)(s+5) 為嚴格真分有理函數。

Example 2:
G(s)=(s+1)(s+10)(s+2)(s+5) 不為嚴格真分有理函數。

G(s) 為嚴格真分有理函數,則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 G(s) 部分分式的寫作如下:
G(s)=As+asingleroot+B3(s+b)3+B2(s+b)2+B1(s+b)1repetitiveroots+(C1ω)ω(s+α)2+ω2+(C2ω)s+α(s+α)2+ω2conjugateroots其中 A,B3,B2,B1,C1,C2 為待定係數。且 α±jω 為共軛複根。

我們看個例子如何求解 嚴格真分有理函數的 部分分式。

Example
試利用部分分式展開下列轉移函數
G(s)=s+3(s+2)(s2+2s+2)Solution
首先觀察 G(s) 確實為嚴格真分有理函數 (分母階數大於分子階數)。現在我們觀察 s2+2s+2 有一對 共軛複根 1±j1 (亦即  α±jω=1±j, α=1,ω=1 )
G(s) 部分分式可寫為
G(s)=As+2+(C21)1(s+1)2+12+(C21)s+1(s+1)2+12 其中 A,C1,C2 待定。

我們可首先求得 A=(s+2)G(s)|s=2=12,接著求 C1C2

(s2+2s+2)G(s)|s=1+j=s+3s+2|s=1+j=(1+j)+3(1+j)+2=2+j1+j=(2+j)(1j)(1+j)(1j)=(2+j2jj2)1+1=3j2=32:=C1+j12:=C2G(s) 的部分分式為
G(s)=As+2+(C21)1(s+1)2+12+(C21)s+1(s+1)2+12=121s+2+321(s+1)2+12+(12)s+1(s+1)2+12     讀者可自行驗證 (透過通分) 上式確實為 G(s) 的部分分式展開。

一但獲得 部分分式,則我們可以直接由 拉式轉換表 獲得對應的反拉式轉換,現回憶我們先前討論的 轉移函數
G(s)=As+asingleroot+B3(s+b)3+B2(s+b)2+B1(s+b)1repetitiveroots+(C1ω)ω(s+α)2+ω2+(C2ω)s+α(s+α)2+ω2conjugateroots 其對應的 反拉式轉換 (由拉式轉換表) 可馬上得知如下:
L1{}g(t)=Aeat+B2t22ebt+B2tebt+B1ebtrepetitiveroots+C1ωeαtsinωt+C2ωeαtcosωtconjugateroots

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