[線性系統] LTI 系統的輸入輸出 BIBO 穩定度

這次要介紹線性系統的穩定度。一般而言在設計控制系統的時候第一步就是要檢驗系統是否穩定，如果不穩定則往往導致系統損毀。不可不慎。

一般而言控制系統穩定度可區分兩類

1. 絕對穩定度：
   指系統是否穩定的指標：一般而言有 BIBO 穩定 與 漸進穩定。
2. 相對穩定度：指系統穩定程度的指標: 一般而言由 pole location，Phase Margin, Gain Margin 決定

而一般穩定度的判別方法也有兩種

1. Routh-Hurwitz criterion
   只適用於線性系統，有興趣讀者可自行參閱任何一本自動控制教科書都會有詳細介紹。
2. Lyapunov energy approach
   對線性/非線性系統皆適用。

Comment:

給不關心理論的讀者：事實上，在實用面上，大多時候我們可以直接使用 MATLAB 等套裝軟體直接求解 eigenvalue 並且判斷是否落在 s-plane 的左半面即可 (如果落在左半面不含虛軸，我們稱此系統 "穩定" )。

考慮一個 SISO LTI 系統描述如下：
$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau$$ 其中 $g(t)$ 為系統脈衝響應(impulse response)

現在我們給出下面定義
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Definition: Bounded function
一個輸入函數 $u(t)$ 稱作有界 (bounded) 如果下列條件成立：
若存在一個夠大的常數 $u_M$ 使得
$$|u(t)| \le u_M < \infty, \; \forall t \ge 0$$ ====================

有了有界函數的定義，我們可以定義何謂 BIBO 穩定
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Definition: BIBO stability
一個系統被稱為 BIBO stable (Bounded input bounded output stable) 若下列條件成立：
對任意有界輸入，系統都產生有界輸出。則此系統為 BIBO 穩定。
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Comment:
1. BIBO 穩定度 只定義在 zero-state response 且系統假設為鬆弛系統亦即初始狀態為零。

2. 上述 BIBO 定義 陳述等價如下：
考慮系統 輸入為 $u(t)$，輸出為 $y(t)$，現若存在 $M, N >0$ 使得
$$|u(t)| \le M < \infty \Rightarrow |y(t)| \le N < \infty$$ 則系統稱為 BIBO穩定。


現在我們看個重要的定理:

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Theorem: BIBO stability criterion of LTI system 
考慮 SISO LTI 系統
$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau$$ 為 BIBO stable 若且為若 存在一個夠大的常數 $M$ 使得
$$\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty$$ =====================
Proof
我們首先證明 $\Leftarrow$，亦即
假設
$$\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty$$ 欲證 LTI 系統 為 BIBO穩定。

故由BIBO定義，給定 $u(t)$ 滿足 $|u(t)| \le u_M < \infty$，要證明 $|y(t)| < \infty$。

由於
$$\begin{array}{l} \left| {y(t)} \right| = \left| {\int_0^t g (\tau )u(t - \tau )d\tau } \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} \le \int_0^t {\left| {g(\tau )u(t - \tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}\int_0^t {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau \end{array}$$ 現在由假設 $\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty$，我們可得
$$\left| {y(t)} \right| \le {u_M}\int_0^t {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}\int_0^\infty {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}M < \infty$$ 故得證。

接著我們證明 $\Rightarrow$。亦即需要證明
若 SISO LTI 系統
$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau$$ 為 BIBO stable，則 存在一個夠大的常數 $M$ 使得
$$\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty$$
現在我們取非，利用反證法 改證
對所有常數 $M$， $$\int_0^\infty |g(t)|dt >M$$ ，則 SISO LTI 系統
$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau$$ 不為 BIBO stable (存在一組輸入 $u(t)$ 使得 輸出 $y(t) = \infty$)

首先注意到由於對所有 $M$，
$$\int_0^\infty |g(t)|dt >M$$ ，此陳述等價於 存在一個 $t_1$ 使得
$$\int_0^{t_1} |g(t)|dt = \infty$$ 接著我們要證明 LTI 系統不為 BIBO stable，故現在建構一組輸入 $u(t)$ 滿足下式
$$u\left( t_1 - \tau \right) := {\rm sgn}(g(\tau) )= \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm if}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}g\left( \tau  \right) \ge 0\\  - 1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm if}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}g\left( \tau  \right) < 0 \end{array} \right.$$ 則其對應的輸出
$$y({t_1}) = \int_0^{{t_1}} g (\tau )u({t_1} - \tau )d\tau  = \int_0^{{t_1}} {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  = \infty$$ 故此系統不為 BIBO stable。至此得證。$\square$

Comment:
1. 上述結果等價如下：
若系統為 LTI 系統，則 系統 BIBO 穩定的充分必要條件為
其系統轉移函數對應的極點 $p_i$ 具有負實部；亦即
$$Re[p_i] <0, i=1,2,...,n$$

2. 若考慮系統為 SISO LTI 系統，且轉移函數 沒有發生極零點對消 (pole-zero cancelation)，則系統特性根 poles = Eigenvalues ；亦即 BIBO穩定 = 漸進穩定度。

3. 若轉移函數 發生極零點對消 (此時 eigenvalue 的數目會多於 pole 的數目 (因為 pole 被 zero消了!!) ) 且 極零點對消在左半面，BIBO = 漸進穩定；若對消在右半面 或者 虛軸上，則 BIBO 不等於 漸進穩定。亦即 BIBO 穩定不一定為 漸進穩定。

4. 若 $\dot x = Ax + Bu;\;\; y=Cx$ 則取拉式轉換我們有
$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} X\left( s \right) = {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}x\left( 0 \right) + {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}BU\left( s \right)\\ Y\left( s \right) = CX\left( x \right) \end{array} \right.\\  \Rightarrow Y\left( s \right) = \underbrace {\left[ {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}} \right]}_{{\rm{Free}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{Response}}}x\left( 0 \right) + \underbrace {\left[ {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B} \right]}_{{\rm{Force}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{Response}}}U\left( s \right) \end{array}$$

我們以下用個例子來看看剛剛討論的 pole-zero cancellation 現象 與 BIBO/Asymptotic stability。

Example: (BIBO stability does NOT imply Asymptotic stability)
考慮系統
$$\left\{ \begin{array}{l} \dot x = Ax + Bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]u\\ y = Cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2 \end{array}} \right]x \end{array} \right.$$ (a) 試求 $A$ 矩陣 eigenvalue。此系統是否為 asymptotic stable?
(b) 試求此系統轉移函數?
(c) 試求此系統 unit step response，試問其對應的系統輸出 是否為 BIBO?

Solution: (a)
首先求 $A$ 矩陣的 eigenvalue：計算特性方程 $\det(sI-A) =0$ 可得
$$\begin{array}{l} \det \left( {sI - A} \right) = 0\\  \Rightarrow \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&0\\ 0&s \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right]} \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&{ - 1}\\ { - 2}&{s + 1} \end{array}} \right] = s\left( {s + 1} \right) - 2 = 0\\  \Rightarrow {s^2} + s - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} s =  - 2\\ s = 1 \end{array} \right. \end{array}$$ 注意到此系統有一個 eigenvalue 為 $s=1$ (落在 s-plane 右半面)，故系統不為漸進穩定。

(b):
接著我們計算轉移函數
$$\begin{array}{l} G\left( s \right) = C{\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}B\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2 \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&{ - 1}\\ { - 2}&{s + 1} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{{2s - 2}}{{{s^2} + s - 2}} = \frac{{2\left( {s - 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s - 1} \right)}} = \frac{2}{{s + 2}} \end{array}$$ 注意到此時發生 pole-zero cancellation ($s=1$ 對消在右半面) !!

(c):
接著我們計算 unit-step response (注意到 unit-step 為 Bounded-input)
$$\begin{array}{l} Y\left( s \right) = G\left( s \right)U\left( s \right) = \left( {\frac{2}{{s + 2}}} \right)\left( {\frac{1}{s}} \right) = \frac{2}{{s\left( {s + 2} \right)}} = \frac{1}{s} + \frac{{ - 1}}{{s + 2}}\\  \Rightarrow y\left( t \right) = 1 - {e^{ - 2t}} \end{array}$$ 可發現系統輸出 $|y(t)| \le 1$ 亦即為 Bounded output。故系統為 BIBO 系統 under unit-step input。