延續前篇,考慮 $n$ 維度 $p$ 組輸入的狀態方程 \[{\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}\]由於輸出方程與控制性無關在此我們僅討論狀態方程。 我們先回憶 系統狀態可控制的定義 ===================== Definition: (Controllability for LTI system) 我們稱狀態方程 \[ {\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right) \] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable),若下列條件成立: 對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( 0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$,存在 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在 有限時間 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。 ====================== Comment: 注意!! 上述的可控性定義並 "無" 限制 控制力大小。 現在我們給出 控制性 有關的結果整合在下面 ========================= Theorem: Controllability equivalence statements 下列 4個 陳述完全 等價(if and only if) : 1. $n$維度的 pair $(\bf{A,B})$ 為 controllable 2. 對任意 $t>0$,$n \times n$ 的矩陣 \[{{\bf{W}}_C}(t): = \int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {t - \tau } \right)}}} d\
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya