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目前顯示的是 九月, 2011的文章

[線性系統] 淺談動態系統的可控制性(2)

延續前篇,考慮 $n$ 維度 $p$ 組輸入的狀態方程
\[{\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}\]由於輸出方程與控制性無關在此我們僅討論狀態方程。
我們先回憶 系統狀態可控制的定義
=====================
Definition: (Controllability for LTI system)
我們稱狀態方程
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable),若下列條件成立:
對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( 0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$,存在 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在 有限時間 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。
======================

Comment:
注意!! 上述的可控性定義並 "無" 限制 控制力大小。

現在我們給出 控制性 有關的結果整合在下面 ========================= Theorem: Controllability equivalence statements

下列 4個 陳述完全等價(if and only if): 1. $n$維度的 pair $(\bf{A,B})$ 為 controllable

2. 對任意 $t>0$,$n \times n$ 的矩陣 \[{{\bf{W}}_C}(t): = \int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {t - \tau } \right)}}} d\tau \]為 nonsingular。

3. $n \times np…

[分享]從事學問的目的是甚麼?

從事學問的目的是甚麼?我完全認同本日(092011)劉校長說的下面這句話

從事學問並不是為了得獎或發表論文而是為了探索新知識、新技術及對社會有所貢獻,讓自己從中得到快樂,才能在漫長求知過程中,有源源不斷的動力。-清大前校長、現任蒙民偉榮譽講座教授 劉炯朗,
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是的,研究人員應追求學問,探索新知識,不是為了發表論文。是要讓自己開心有動力做研究,探究學術之美不是為了升等或得獎。希望自己也能把這些話謹記在心 :)

[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(4) - Uniform boundedness and Equicontinuity

回憶對於 實數sequence 而言,我們有以下結果:
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Theorem: Convergence of Real Numbers 
1. 若 $\{p_n \}$ 為一個在 compact metric space $X$ 的實數 sequence,則存在一 subsequence $\{p_{n_i}\}$ 在 $X$ 上收斂。

2. (Bolzano-Weierstrass Theorem) 任意 $\mathbb{R}^k$ 中有界 sequences 都必有收斂 subsequence。
=================

那麼現在我們想問,如果是 函數 sequence 是否有類似結果可以使用?
Q1. 任意 收斂函數sequence 是否都有均勻收斂 sequence ?
Q2. 如果我們有一組 "有界" 的 函數 sequence,那麼是否此組有界函數 sequence 仍有 收斂 subsequence? 如果有? 是甚麼樣的收斂(逐點? or 均勻?) 如果沒有? 我們該怎麼修正。

讀者可以發現我們想要 模仿 實數sequence 的 Bolzano-Weierstrass theorem 到 函數 sequence 中,故第一個問題便是甚麼叫做 "有界" 的函數sequence ? 故以下我們給出 有界函數sequence (bounded function sequences)的定義 :

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Definition: ( Boundedness of Sequence of Function)
令 $\{f_n \}$ 為定義在 $E \subset X$ 上函數 sequence。
我們說 $\{f_n \}$ 為在 $E$ 上逐點有界(pointwise bounded)  若下列條件成立:
存在一個有限值域函數 $\phi(x)>0$ 使得 對任意 $x\in E$ 與 對 $n=1,2,3,...$,\[
|f_n(x)|< \phi(x)
\]
我們說 $\{f_n \}$ 為在 $E$ 上均勻有界(uniformly bounded)  若下列條件成立:
存在一個(夠大的)數字 $M\in \mathbb{…