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Lemma: Hautus Lemma for Controllability
我們稱一個離散線性系統
\[
x(k+1) = A x(k) + Bu(k)
\] 為 controllable 或稱 (A, B) controllable 若且唯若
\[
rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall \lambda \in \mathbb{C}
\]其中 $\mathbb{C}$ 表示 任意 complex number 所形成的集合。
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Proof. omitted.
1. 上述 Lemma 等價為 矩陣 $[\lambda I - A\;\; B]$ 有 $n$ 個 independent rows (full row rank) 。
2. 也許讀者會好奇為何需要如此多 控制性 檢驗工具? 為什麼不使用 可控性矩陣(controllability matrix) 檢驗法就好? 事實上此 Hautus Lemma 主要是功用是大幅簡化 理論證明，但一般實際 檢驗 系統的 可控性 仍多仰賴 可控性矩陣(controllability matrix) 檢驗法。
3. 注意到上述條件需要檢驗 "任意" complex number $\lambda$ 此條件明顯過於嚴苛。不過我們可以注意到 若 $\lambda $ 並非為 $A$ 矩陣的特徵值，則 $rank[\lambda I - A\;\; B] =n$ 必然成立，故我們只需檢驗 $\lambda$ 為 $A$ 矩陣的特徵值部分即可。故
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Lemma (Modified): Hautus Lemma for Controllability
一個離散線性系統
\[
x(k+1) = A x(k) + Bu(k)
\]為 controllable 或稱 (A,B) controllable 若且唯若
\[
rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall \lambda \in eig(A)
\]==========================
Proof: omitted.
以下我們將討論拓展到 stabilizability。若現在我們將原本系統 $x(k+1) = A x(k) + Bu(k)$ 透過similar transformation (關於相似轉換細節請參閱 [線性系統] 控制性矩陣 與 非奇異轉換 (Controllability matrix & Non-singular transformation)) 轉成以下 partitioned system
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( {k + 1} \right)}\\
{{x_2}\left( {k + 1} \right)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\
0&{{A_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( k \right)}\\
{{x_2}\left( k \right)}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{B_1}}\\
0
\end{array}} \right]u\left( k \right)\]其中 $(A_{11}, B_1)$ 為 controllable。上式又稱為 controllability canonical form。注意到若我們觀察此系統的 contorllability matrix
\[C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{B_1}}&{{A_{11}}{B_1}}&{{A_{11}}^2{B_1}}& \cdots &{{A_{11}}^n{B_1}}\\
0&0&0& \cdots &0
\end{array}} \right]\]由於 $(A_{11}, B_1)$ 為 controllable 故 controllability matrix $C$ 上排具有 $n_1$ 個 independent row。但是 $C$ 的 下排 $n_2$ rows 均為 $0$ ，故必定不滿足 full row rank test，此系統 uncontrollable。
Exercise: 試證 uncontrollable mode 為 $x_2(k)$。
儘管有 uncontrollable mode ，但我們可以退而求其次，若此 uncontrollable mode 為 stable，則我們仍可控制此系統，此類系統稱作 stabilizable。
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Definition: Stabilizability
考慮以下 partitioned system
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( {k + 1} \right)}\\
{{x_2}\left( {k + 1} \right)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\
0&{{A_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( k \right)}\\
{{x_2}\left( k \right)}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{B_1}}\\
0
\end{array}} \right]u\left( k \right)\]其中 $(A_{11}, B_1)$ 為 controllable。若 $A_{22}$ 為 stable 則此 partitioned system 稱作 stabilizable。=========
接著我們可以拓展前述討論的 Hautus Lemma 到 Stabilizability 之中。
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Lemma: (Hautus Lemma for Stabilizability)
一個離散線性系統
\[
x(k+1) = A x(k) + Bu(k)
\] 為 stabilizable 若且唯若
\[
rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall |\lambda| \ge 1
\]================
Proof:
$(\Rightarrow)$ 假設系統 stabilizable，我們要證明 $rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall |\lambda| \ge 1 $成立。
注意到 系統 stabilizable，故由 stabilizability 定義可知
考慮以下 partitioned system
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( {k + 1} \right)}\\
{{x_2}\left( {k + 1} \right)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\
0&{{A_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( k \right)}\\
{{x_2}\left( k \right)}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{B_1}}\\
0
\end{array}} \right]u\left( k \right)\]其中 $(A_{11}, B_1)$ 為 controllable 且 $A_{22}$ 為 stable 。故我們有
\[rank[\lambda I - A\;\;B] = rank\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda I - {A_{11}}}&{ - {A_{12}}}&{{B_1}}\\
0&{\lambda I - {A_{22}}}&0
\end{array}} \right] \ \ \ \ \ (*)
\] 且 若我們觀察 矩陣 $[\lambda I - A_{11}\;\; B_1]$ 與 $[\lambda I - A_{22}]$ 的 row，可發現若 $|\lambda| \ge 1$ 則這些 rows 互為 independent。故由 Hautus Lemma for controllability 可知 ，對 $|\lambda| \ge 1$而言，$(*)$ 的 rows 為 independent 故 $rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall |\lambda| \ge 1 $
$(\Leftarrow)$ 假設 $rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall |\lambda| \ge 1 $成立，我們要證明 系統 stabilizable 。亦即 考慮以下 partitioned system
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( {k + 1} \right)}\\
{{x_2}\left( {k + 1} \right)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\
0&{{A_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( k \right)}\\
{{x_2}\left( k \right)}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{B_1}}\\
0
\end{array}} \right]u\left( k \right)\]其中 $(A_{11}, B_1)$ 為 controllable 且 $A_{22}$ 為 stable 注意 partitioned system 為 controllability canonical form，故 $(A_{11}, B_1)$ 已為 controllable ，故我們僅須證明 $A_{22}$ 為 stable 。
由 假設 $rank[\lambda I - A\;\; B] =n, \;\; \forall |\lambda| \ge 1 $ 我們可知 對任意 $|\lambda| \ge 1 $，
\[rank[\lambda I - A\;\;B] = rank\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda I - {A_{11}}}&{ - {A_{12}}}&{{B_1}}\\
0&{\lambda I - {A_{22}}}&0
\end{array}} \right]\]具有 independent rows 。此暗示了 上述矩陣下排 $[\lambda I - A_{22} ]$ 亦有 full row rank $\forall |\lambda| \ge 1$ 故 $A_{22}$ 的 eigenvalue 必 $<1$ 故 $A_{22} $ 為 stable。
