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[線性系統] 控制性矩陣 與 非奇異轉換 (Controllability matrix & Non-singular transformation)

延續先前線性系統理論 對於非奇異轉換的討論,由於 轉移函數 用 State space 表示實現的方法並不唯一;e.g., controllable canonical form, observable canonical form, digonal form. 故現在我們再進一步審視此問題

給定轉移函數 $H(s)$,現考慮對此轉移函數的任兩種 狀態空間實現 $\Sigma$ 與 $\tilde \Sigma$
\[\left\{ \begin{array}{l}
\Sigma  = (A,B,C,D)\\
\tilde \Sigma  = (\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D)
\end{array} \right.\],亦即
\[
H(s) = H_{\Sigma }(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \equiv  \tilde{C} (sI- \tilde A)^{-1} \tilde B + \tilde D = H_{\tilde{\Sigma }}(s)
\]

那麼我們想知道是否存在一個 $n \times n$ 的非奇異轉換矩陣 $T$ 使得 我們有映射 $\Sigma \rightarrow \tilde \Sigma$

由先前文章可知,$\tilde A = T A T^{-1}$,$\tilde B = TB$,$\tilde C = C T^{-1}$,$\tilde D = D$,現在觀察下式
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde B = TB\\
\tilde A\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TB = TAB\\
{{\tilde A}^2}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^2}B\\
 \vdots \\
{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^{n - 1}}B
\end{array} \right.
\] 我們可以看出上式中一些運算的規則,現在將其改寫為更簡潔的形式如下
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\tilde B}&{\tilde A\tilde B}& \cdots &{{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_{\tilde \Sigma }}} = T\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AB}&{{A^2}B}& \cdots &{{A^{n - 1}}B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_\Sigma }}
\] 亦即 $C_{\tilde \Sigma}= T C_{\Sigma}$ . $(\star)$

上式 $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 稱為 控制性矩陣 (Controllability matrix)。故 非奇異矩陣 $T$ 可透過上述關係得到。

注意到如果為單輸入單輸出 (SISO) 系統,且假設  $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 為方陣。 $C_{\Sigma}$ 為 non-singular,則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = C_{\tilde \Sigma}C_{\Sigma}^{-1}
\]

若 多輸入系統,則無法直接求解反矩陣,故我們需先使 $(\star)$ 左右變成方陣:
\[
\underbrace {{C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn\times n} \right)}_{n \times n}} = T\underbrace {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn \times n} \right)}_{n \times n}}
\]現在   ${{C_\Sigma }{C_\Sigma }}$ 為 non-singular,則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = {C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T{\left( {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T} \right)^{ - 1}}
\]

故 我們知道如果要有 非奇異矩陣 $T$,則矩陣 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 必須非奇異,故我們有下列 Controllability Rank conditon:

Controllability Rank Condition
 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 為非奇異 若且為若 $\text{rank}{C_{\Sigma}} = n$


Comment:
1. 在 MATLAB中,給定動態系統 $A, B$ 矩陣,則我們可以使用  C = ctrb(A,B) 指令來直接幫助我們計算 Controllability Matrix, C,接著再用 rank(C) 指令確認此矩陣是否滿足我們的 Controllability Rank Condition ,如果滿足我們稱此系統為可控制(controllable)。

2. non-singular transform 不改變 Eigenvalues,亦即
\[eig\left( {TA{T^{ - 1}}} \right) = eig\left( A \right)
\]其中 $eig(\cdot)$ 表特徵值。
Proof
令 $T$ 為 nonsingular transformation matrix,且 $\lambda_i$ 為 $TAT^{-1}$ 矩陣對應的 eigenvalue,也就是說 $TAT^{-1}$ 的 eigenvalues 滿足 $\det(\lambda_i I - TAT^{-1}) =0$。故
\[\begin{array}{l}
\det \left( {{\lambda _i}I - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {{\lambda _i}T{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {T\left( {{\lambda _i}I - A} \right){T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( T \right)\det \left( {{\lambda _i}I - A} \right)\det \left( {{T^{ - 1}}} \right) = 0
\end{array}\]由於 $T$ 為 nonsingular,故 $T^{-1}$ 存在且 $\det(T) \neq 0$,  $\det(T^{-1}) \neq 0$。故只有
\[
\det(\lambda_i I - A) =0
\]亦即 $\lambda_i$ 亦為 矩陣 $A$ 的 eigenvalue。 $\square$

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[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
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(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=…

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
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在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種雙條件句,通常可以直接將其視為"定義(Definition)"待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他

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現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

"A if and only if B" "A iff…