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7/09/2014

[隨機過程] 布朗運動的 Reflection Principle 與 First Passage Time Problem

定義 {Wt} 為標準布朗運動。現給定常數邊界 b>0,定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time)
τb:=inf{t:Wtb}
我們想要計算 P(τbt)=?

上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem)

=========
那麼如何求解上述FPT問題呢?

首先注意到
{τbt,Wt>b}{Wt>b} 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity),與 W(0)=0,故 Wt>bτbt,亦即 {Wt>b}{τbt}。故
{τbt,Wt>b}{Wt>b}

現在我們計算 P(τbt),利用 Law of total Probability 可得
P(τbt)=P(τbt,Wt<b)+P(τbt,Wt>b)=P(Wt<b|τbt)P(τbt)+P(τbt,Wt>b)=P(Wt<b|τbt)P(τbt)+P(Wt>b)....    ()上式中的 P(Wt>b) 可以由布朗運動定義計算出來,因為 WtN(0,t),故
P(Wt>b)=1P(Wtb)=1Φ(bt) 其中 Φ() 為 Standard Normal Cumulative Distribution Function.

接著,我們計算 P(Wt<b|τbt),事實上由 Path Continuity 我們可知 Wτb=b,故在給定 τbt 的時候,隨機過程在時刻 t 時 高於 邊界 b 的機率 與 低於 邊界 b 的機率應該相同;亦即
P(Wt<b|τbt)=12
(上述結果稱為 Reflection Principle ,嚴格證明需要利用 Strong Markov property,但此處我們略過)。下圖亦顯示了 Reflection Principle 的想法



故我們將上述結果代回 (),可得
P(τbt)=P(Wt<b|τbt)P(τbt)+P(Wt>b)P(τbt)=12P(τbt)+P(Wt>b)P(τbt)=2P(Wt>b)=2(1Φ(bt))



Ref: Joseph T. Chang, "Stochastic Processes Lecture Note" Yale University.

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