τb:=inf{t:Wt≥b}
我們想要計算 P(τb≤t)=?
上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem)
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那麼如何求解上述FPT問題呢?
首先注意到
{τb≤t,Wt>b}≡{Wt>b} 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity),與 W(0)=0,故 Wt>b⇒τb≤t,亦即 {Wt>b}⊂{τb≤t}。故
{τb≤t,Wt>b}≡{Wt>b}
現在我們計算 P(τb≤t),利用 Law of total Probability 可得
P(τb≤t)=P(τb≤t,Wt<b)+P(τb≤t,Wt>b)=P(Wt<b|τb≤t)P(τb≤t)+P(τb≤t,Wt>b)=P(Wt<b|τb≤t)P(τb≤t)+P(Wt>b).... (∗)上式中的 P(Wt>b) 可以由布朗運動定義計算出來,因為 Wt∼N(0,t),故
P(Wt>b)=1−P(Wt≤b)=1−Φ(b√t) 其中 Φ(⋅) 為 Standard Normal Cumulative Distribution Function.
接著,我們計算 P(Wt<b|τb≤t),事實上由 Path Continuity 我們可知 Wτb=b,故在給定 τb≤t 的時候,隨機過程在時刻 t 時 高於 邊界 b 的機率 與 低於 邊界 b 的機率應該相同;亦即
P(Wt<b|τb≤t)=12
(上述結果稱為 Reflection Principle ,嚴格證明需要利用 Strong Markov property,但此處我們略過)。下圖亦顯示了 Reflection Principle 的想法
故我們將上述結果代回 (∗),可得
P(τb≤t)=P(Wt<b|τb≤t)P(τb≤t)+P(Wt>b)⇒P(τb≤t)=12P(τb≤t)+P(Wt>b)⇒P(τb≤t)=2P(Wt>b)=2(1−Φ(b√t))
Ref: Joseph T. Chang, "Stochastic Processes Lecture Note" Yale University.
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