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7/09/2014

[隨機過程] 布朗運動的 Reflection Principle 與 First Passage Time Problem

定義 {Wt} 為標準布朗運動。現給定常數邊界 b>0,定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time)
τb:=inf
我們想要計算 P(\tau_b \le t) = ?

上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem)

=========
那麼如何求解上述FPT問題呢?

首先注意到
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\} 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity),與 W(0)=0,故 W_t > b  \Rightarrow \tau_b \le t,亦即 \{ W_t > b\} \subset \{ \tau_b \le t\}。故
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\}

現在我們計算 P(\tau_b \le t) ,利用 Law of total Probability 可得
\begin{array}{l} P({\tau _b} \le t) = P({\tau _b} \le t,{W_t} < b) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b) \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b) ....\ \ \ \ (*) \end{array} 上式中的 P(W_t > b) 可以由布朗運動定義計算出來,因為 W_t \sim \cal{N}(0,t),故
P(W_t > b) = 1 - P(W_t \le b) = 1 - \Phi(\frac{b}{\sqrt{t}}) 其中 \Phi(\cdot) 為 Standard Normal Cumulative Distribution Function.

接著,我們計算 P({W_t} < b|{\tau _b} \le t),事實上由 Path Continuity 我們可知 W_{\tau_b} = b,故在給定 \tau_b \le t 的時候,隨機過程在時刻 t 時 高於 邊界 b 的機率 與 低於 邊界 b 的機率應該相同;亦即
P({W_t} < b|{\tau _b} \le t) = \frac{1}{2}
(上述結果稱為 Reflection Principle ,嚴格證明需要利用 Strong Markov property,但此處我們略過)。下圖亦顯示了 Reflection Principle 的想法



故我們將上述結果代回 (*),可得
\begin{array}{l} P({\tau _b} \le t) = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b)\\  \Rightarrow P({\tau _b} \le t) = \frac{1}{2}P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b)\\  \Rightarrow P\left( {{\tau _b} \le t} \right) = 2P({W_t} > b) = 2\left( {1 - \Phi \left( {\frac{b}{{\sqrt t }}} \right)} \right) \end{array}



Ref: Joseph T. Chang, "Stochastic Processes Lecture Note" Yale University.

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