[線性系統] 控制性矩陣 與 非奇異轉換 (Controllability matrix & Non-singular transformation)

延續先前線性系統理論 對於非奇異轉換的討論，由於 轉移函數 用 State space 表示實現的方法並不唯一；e.g., controllable canonical form, observable canonical form, digonal form. 故現在我們再進一步審視此問題

給定轉移函數 $H(s)$，現考慮對此轉移函數的任兩種 狀態空間實現 $\Sigma$ 與 $\tilde \Sigma$
\[\left\{ \begin{array}{l}
\Sigma  = (A,B,C,D)\\
\tilde \Sigma  = (\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D)
\end{array} \right.\]，亦即
\[
H(s) = H_{\Sigma }(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \equiv  \tilde{C} (sI- \tilde A)^{-1} \tilde B + \tilde D = H_{\tilde{\Sigma }}(s)
\]

那麼我們想知道是否存在一個 $n \times n$ 的非奇異轉換矩陣 $T$ 使得 我們有映射 $\Sigma \rightarrow \tilde \Sigma$

由先前文章可知，$\tilde A = T A T^{-1}$，$\tilde B = TB$，$\tilde C = C T^{-1}$，$\tilde D = D$，現在觀察下式
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde B = TB\\
\tilde A\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TB = TAB\\
{{\tilde A}^2}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^2}B\\
 \vdots \\
{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^{n - 1}}B
\end{array} \right.
\] 我們可以看出上式中一些運算的規則，現在將其改寫為更簡潔的形式如下
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\tilde B}&{\tilde A\tilde B}& \cdots &{{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_{\tilde \Sigma }}} = T\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AB}&{{A^2}B}& \cdots &{{A^{n - 1}}B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_\Sigma }}
\] 亦即 $C_{\tilde \Sigma}= T C_{\Sigma}$ . $(\star)$

上式 $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 稱為 控制性矩陣 (Controllability matrix)。故 非奇異矩陣 $T$ 可透過上述關係得到。

注意到如果為單輸入單輸出 (SISO) 系統，且假設  $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 為方陣。若 $C_{\Sigma}$ 為 non-singular，則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = C_{\tilde \Sigma}C_{\Sigma}^{-1}
\]

若 多輸入系統，則無法直接求解反矩陣，故我們需先使 $(\star)$ 左右變成方陣：
\[
\underbrace {{C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn\times n} \right)}_{n \times n}} = T\underbrace {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn \times n} \right)}_{n \times n}}
\]現在 若  ${{C_\Sigma }{C_\Sigma }}$ 為 non-singular，則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = {C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T{\left( {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T} \right)^{ - 1}}
\]

故 我們知道如果要有 非奇異矩陣 $T$，則矩陣 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 必須非奇異，故我們有下列 Controllability Rank conditon：

Controllability Rank Condition
 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 為非奇異 若且為若 $\text{rank}{C_{\Sigma}} = n$


Comment:
1. 在 MATLAB中，給定動態系統 $A, B$ 矩陣，則我們可以使用  C = ctrb(A,B) 指令來直接幫助我們計算 Controllability Matrix, C，接著再用 rank(C) 指令確認此矩陣是否滿足我們的 Controllability Rank Condition ，如果滿足我們稱此系統為可控制(controllable)。

2. non-singular transform 不改變 Eigenvalues，亦即
\[eig\left( {TA{T^{ - 1}}} \right) = eig\left( A \right)
\]其中 $eig(\cdot)$ 表特徵值。
Proof
令 $T$ 為 nonsingular transformation matrix，且 $\lambda_i$ 為 $TAT^{-1}$ 矩陣對應的 eigenvalue，也就是說 $TAT^{-1}$ 的 eigenvalues 滿足 $\det(\lambda_i I - TAT^{-1}) =0$。故
\[\begin{array}{l}
\det \left( {{\lambda _i}I - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {{\lambda _i}T{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {T\left( {{\lambda _i}I - A} \right){T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( T \right)\det \left( {{\lambda _i}I - A} \right)\det \left( {{T^{ - 1}}} \right) = 0
\end{array}\]由於 $T$ 為 nonsingular，故 $T^{-1}$ 存在且 $\det(T) \neq 0$,  $\det(T^{-1}) \neq 0$。故只有
\[
\det(\lambda_i I - A) =0
\]亦即 $\lambda_i$ 亦為 矩陣 $A$ 的 eigenvalue。 $\square$