- 可控制性 (controllability)
- 可觀測性 (observability)
- 穩定性 (stability)
這次主要是介紹 動態系統 的 可控制性(Controllability)。
考慮 $n$ 個狀態 且 $p$ 組輸入的狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]其中 ${\bf A}(t)$ 為 $n \times n$ 時變矩陣，${\bf B}(t)$ 為 $n \times p$ 時變矩陣。
控制性的基本想法如下：
若系統某狀態 $\bf x$ 可以透過某對應的控制力 $\bf u$ 來影響 (在有限時間 $t$ 中從任意狀態 $x_0$ 被移動到指定狀態 $x(t)$)，則我們稱此狀態為可控制。
由於輸出方程與系統控制性無關，我們這邊只考慮狀態方程。
以下先給出對於線性非時變系統 其 系統可控制性的定義
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Definition: (Controllability for LTI system)
我們稱狀態方程
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable)，若下列條件成立:
對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( t_0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$，存在時刻 $t_1 \ge t_0$ 與 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在有限時間 $t_1$ 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。
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那麼該如何檢驗控制性? 我們給初以下方法：
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Theorem: Controllability and Controllability Matrix Test
考慮 $n$ 階 LTI System 表為
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 我們說 系統為 完全狀態可控制 若且為若 下列控制性矩陣(controllability matrix)
\[
\mathcal{C} :=[{\bf B}\;\; {\bf AB}\;\; {\bf A}^2{\bf B}\;\;...\;\; {\bf A}^{n-1}{\bf B}]
\]為 full rank 。(亦即 $\text{rank}({\cal C}) = n$)
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Comment: 若 $\text{rank}({\cal C}) = n -1$ 則表示系統有1個狀態不可控；若 $\text{rank}({\cal C}) = n -2$ 表系統有2個狀態不可控；以此類推；若 $\text{rank}({\cal C}) = 0$ 表系統所有狀態不可控。
另外我們還有另一個等價的方法可以檢驗控制性：
不過在介紹之前我們需要先介紹 線性獨立 (linearly independent) 的時間函數 $f_i(t)$ 以及如何判別一組時間函數是否彼此為線性獨立：
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Definition: (Linear independence of time functions)
考慮 $f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t)$ 為連續函數。我們說此組連續函數為彼此 線性相依 (linear dependent) 若下列條件成立：
存在一組不全為零的純量 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ ，使得
\[
\alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t) + ... + \alpha_n f_n(t) = 0, \; \forall t \in [t_0,t_1]
\]反之，此組 $f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t)$ 稱為彼此線性獨立(linear independent) (此時 所有的係數 $\alpha_i =0$)。
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Theorem:
給定 $t_0$ 為初始時刻，$t_1$ 為終止時刻，現在定義
\[
{\bf F}\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1}\left( t \right)}\\
{{f_2}\left( t \right)}\\
\vdots \\
{{f_n}\left( t \right)}
\end{array}} \right]
\] 與
\[
{\bf W}(t_1) := \int_{t_0}^{t_1} {\bf F}(\tau) {\bf F}^T(\tau) d \tau,
\]則 $f_i$ 在區間 $[t_0,t_1]$ 之間彼此互為線性獨立 若且為若 $W(t_1)$ 為 nonsingular 矩陣。
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首先證明 $(\Rightarrow)$
利用歸謬法(Suppose toward to contradiction)，假設 $W(t_1)$ 為 singular。則 $W(t_1)$ 有線性相依的行或者列向量，故存在一組不全為零的向量 $\alpha$ 使得
\[\alpha^T {\bf W}(t_1) \alpha=0,
\]亦即
\[\begin{array}{l}
{\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1})\alpha = 0\\
\Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1})\alpha = {\alpha ^T}\left( {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{F}}(\tau ){{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau } \right)\alpha = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\underbrace {{\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau )}_{: = {\bf{\xi }}\left( \tau \right)}\underbrace {{{\bf{F}}^T}(\tau )\alpha }_{: = {{\bf{\xi }}^T}\left( \tau \right)}} d\tau = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\xi }}\left( \tau \right){{\bf{\xi }}^T}\left( \tau \right)} d\tau = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{{\left\| {{\bf{\xi }}\left( \tau \right)} \right\|}^2}} d\tau = 0\\
\Rightarrow {\left\| {{\bf{\xi }}\left( \tau \right)} \right\|^2} = 0 \Rightarrow {\bf{\xi }}\left( \tau \right) = 0 \Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau ) = 0
\end{array}
\]
亦即我們有 $f_i$ 之間彼此線性相依。此結果與原本 $f_i$ 線性獨立的假設矛盾。
接著證明 $(\Leftarrow)$
同樣採用歸謬法，假設 $f_i$ 彼此線性相依，故我們知道存在一組不全為零的純量 $\alpha_i, \; i=1,2,...,n$ 使得 $\sum_i \alpha_i f_i =0$。我們可將此結果可寫成向量形式
\[
\alpha^T {\bf F}(t) =0
\]其中 $\alpha^T :=[\alpha_1\;\alpha_2\;...\;\alpha_n]$。現在我們觀察矩陣 ${\bf{W}}({t_1})$，並且對其左邊乘上向量 $\alpha^T$可得
\[\begin{array}{l}
{\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1}) = {\alpha ^T}\left( {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{F}}(\tau ){{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\underbrace {{\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau )}_{ = 0}{{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau = 0\\
\Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1}) = 0
\end{array}
\]上式暗示了 ${\bf{W}}({t_1})$ 矩陣為 Singular，此結果與假設 ${\bf{W}}({t_1})$ 為 nonsingular 矩陣矛盾。
至此證畢。$\square$
那麼現在讓我們回到 線性時變 狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]我們知道此狀態方程的解為
\[{\bf{x}}\left( t \right) = {\bf{\Phi }}\left( {{t_1},{t_0}} \right){\bf{x}}\left( {{t_0}} \right) + \int_{{t_0}}^t {{\bf{\Phi }}\left( {t,\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau \right){\bf{u}}\left( \tau \right)} d\tau
\]其中 ${\bf \Phi}(t,\tau)$ 稱作狀態轉移矩陣 (State transition matrix)。
那麼我們現在便可以把控制性與之前所討論的線性獨立性質聯合再一起，我們將此結果記做下面的重要定理。
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Theorem: (Controllability criterion for LTV system)
我們稱 線性時變(LTV) 狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]為 在時刻 $t_0$可控制 若且為若 存在一時刻 $t_1 \ge t_0$ 使得 矩陣 ${\bf \Phi(t,\tau)}B(\tau)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 之間 具有線性獨立的 行向量 (row vectors)；或者等價地說，下列 $n \times n$矩陣
\[{\bf{W}}({t_1}): = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\Phi }}\left( {{t_1},\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau \right){{\bf{B}}^T}\left( \tau \right){{\bf{\Phi }}^T}\left( {{t_1},\tau } \right)} d\tau \]為 nonsingular。
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Comment
1. 上述矩陣\[{\bf{W}}({t_1}): = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\Phi }}\left( {{t_1},\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau \right){{\bf{B}}^T}\left( \tau \right){{\bf{\Phi }}^T}\left( {{t_1},\tau } \right)} d\tau \]稱作 Controllability Grammian。
2. 上述定理亦可適用於 LTI system。我們將定理記做下面
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Theorem: (Controllability criterion for LTI system)
考慮系統為 LTI，其狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)\]為可控制 若且為若 對任意 $t>0$，下列矩陣
\[{\bf{W}}(t): = {\int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}\left( {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}} \right)} ^T}d\tau \]為 nonsingular。
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3. 關於狀態轉移矩陣相關議題，請參考BLOG相關文章
[線性系統] 動態方程式的求解(1) - LTI state equation
[線性系統] 動態方程式的求解(2) - LTV state equation- Homogeneous solution
[線性系統] 動態方程式的求解(3) - LTV state equation- Total Solution
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