[隨機分析] Uniqueness and Existence theorem for S.D.E. (2) - Picard Iteration for SDE

延續上篇，這次要討論的是 隨機微分方程的存在性：

為了文章閱讀方便，我們首先回憶SDE的定義：

考慮 $t \in [0,T]$，SDE定義如下
\[
dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t) dB_t, \ X(0)=x_0
\]
但注意到SDE實質上並無嚴格定義，只有定義在積分型式
\[
X_t = X_0 + \int_0^t \mu(s,X_s) ds + \int_0^t \sigma(s,X_s) dB_s
\]

有了以上的定義，我們才能比較方便的討論SDE的存在性。這邊我們再次給出SDE 存在性與唯一性定理 (與前篇相同)：

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Theorem (Existence and Uniqueness)
考慮 $t \in [0,T]$，SDE:
\[
dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t) dB_t, \ X(0)=x_0 \ \ \ \ (*)
\]若其係數 $\mu, \sigma$滿足  Lipschitz condition
\[
|\mu(t,x) - \mu(t,y)|^2 + |\sigma(t,x) - \sigma(t,y)|^2 \leq K |x-y|^2
\]與 Growth condition
\[
|\mu(t,x)|^2 + |\sigma(t,x)|^2 \leq K(1 + |x|^2)
\]則 $(*)$ 存在一個 Continuous adapted 的解 $X_t$ 滿足
\[
X_t = X_0 + \int_0^t \mu(s,X_s) ds + \int_0^t \sigma(s,X_s) dB_s
\]且 uniformly bounded in $L^2(dP)$；亦即
\[
\displaystyle \sup_{0 \leq t \leq T}E[X_t^2] < \infty
\]更進一步，若 $X_t$ 與 $Y_t$ 兩者都為式 $(*)$ 的 Continuous $L^2$ bounded 的解，則
\[
P(\{ X_t = Y_t, \forall \ t\in[0,T]\}) =1
\]=============================

想法：回憶ODE中存在性我們利用 Picard Iteration 來證明解的存在性。在SDE 這邊相同的idea仍然能夠幫助我們。

所以我們首先寫下 對 SDE的 Picard Iteration ：

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Iteration Scheme (Picard Iteration):
給定 $X_t^{(0)}:=x_0$，與下列跌代過程：
\[
X_t^{(n+1)} = x_0 + \int_0^t \mu(s, X_s^{(n)})ds + \int_0^t \sigma(s,X_s^{(n)})dBs \ \ \ \ (*)
\]==============================

那麼現在有個基本的問題就是上述所定義的 Iteration $(*)$ 是否合理呢? 要知道等號右邊是Lebesgue integral 與 Ito Integral ；故在使用此定義之前我們需先檢驗此訂法是合宜：亦即檢驗積分變數 $\sigma(t,X_t^{(n)})$ 與 $\mu(t,X_t^{(n)})$ 是否滿足某些積分條件(我們需要平方可積)。我們將此積分條件寫成以下Lemma

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Lemma (Well-definedness of Picard iteration for SDE)
若 $X_t^{(n)}$ 為 $L^2$-bounded on $[0,T]$，則
\[
\sigma(t,X_t^{(n)}) \in \mathcal{H}^2[0,T] \ \text{and} \ \mu(t,X_t^{(n)}) \in L^2[[0,T]\times \Omega]
\]且更進一步，由式 $(*)$ 定義的 下一步跌代 $X_t^{(n+1)}$ 亦為 $L^2$ -bounded on $[0,T]$
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Proof: 
假設 $X_t^{(n)}$ 為 $L^2$-bounded on $[0,T]$，亦即對任意$t\in[0,T]$，存在一個常數 $B$ 使得
\[
E[|X_t^{(n)}|^2] =B < \infty
\]我們可以進一步改寫
\[
 \displaystyle \sup_{0 \leq t \leq T} E[ |X_t^{(n)}|^2] = B < \infty
\]現在回憶Picard Iteration的定義
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給定 $X_t^{(0)}:=x_0$；
\[X_t^{(n + 1)} = \underbrace {{x_0}}_{term1} + \underbrace {\int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds}_{term2} + \underbrace {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs}_{term3}
\]----
我們要證明上式 右邊滿足下列可積分條件
\[
\sigma(t,X_t^{(n)}) \in \mathcal{H}^2[0,T] \ \text{and} \ \mu(t,X_t^{(n)}) \in L^2[[0,T]\times \Omega]
\]且下一步跌代 $X_t^{(n+1)}$ 亦為 $L^2$ -bounded on $[0,T]$
故我們先進行逐項檢驗：

對term1：
由 $X_t^{(0)}:=x_0$ 又因為 由假設可知 $X_t^{(n)}$ 為 $L^2$-bounded on $[0,T]$；故$X_t^{(0)}:=x_0$  為 $L^2$-bounded on $[0,T]$

對term2:
欲證 $\mu(t,X_t^{(n)}) \in L^2[[0,T]\times \Omega]$；為了方便起見，我們直接計算 $E\left[ {{{\left( {\int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds} \right)}^2}} \right ]$且利用 Cauchy-Schwarz inequality
\[
\left (\int_0^t f \cdot g \right )^2 \leq \int_0^t f^2 \int_0^t g^2
\]
將外面的平方搬到對積分變數的平方
\[E\left[ {{{\left( {\int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds} \right)}^2}} \right] \le E\left[ {\left( {\int_0^t \mu  {{(s,X_s^{(n)})}^2}ds} \right)\left( {{{\int_0^t 1 }^2}ds} \right)} \right] \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = t \cdot E\left[ {\left( {\int_0^t \mu  {{(s,X_s^{(n)})}^2}ds} \right)} \right]
\]；現在由 Growth condition: $ |\mu(t,x)|^2 + |\sigma(t,x)|^2 \leq K(1 + |x|^2) $ 與 $t\in[0,T]$我們可推得
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow t \cdot E\left[ {\left( {\int_0^t \mu  {{(s,X_s^{(n)})}^2}ds} \right)} \right] \le t \cdot KE\left[ {\int_0^t {(1 + |X_s^{(n)}{|^2})} ds} \right]\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le T \cdot K\left[ {\int_0^t {(1 + E\left[ {|X_s^{(n)}{|^2}} \right])} ds} \right]\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le TK\left[ {\int_0^t {(1 + B)} ds} \right] = TK\left[ {(1 + B)T} \right]
\end{array}\]
又因為由給定的假設可知 $E[|X_t^{(n)}|^2] =B < \infty$：故上式可進一步改寫
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow E\left[ {{{\left( {\int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds} \right)}^2}} \right] \le {T^2}K(1 + B) < \infty
\end{array}
\]且由先前推導中可知我們亦有如下結果
\[E\left[ {\int_0^t \mu  {{(s,X_s^{(n)})}^2}ds} \right] \le TK(1 + B)\]
此結果說明$\mu(t,X_t^{(n)}) \in L^2[[0,T]\times \Omega]$。

對term3:
欲證 $\sigma(t,X_t^{(n)}) \in \mathcal{H}^2[0,T]$；由 $\mathcal{H}^2[0,T]$定義我們觀察
\[
E\left[ {\int_0^t {{{\left| {\sigma (s,X_s^{(n)})} \right|}^2}} ds} \right] \ \text{for $t \in [0,T]$}
\]由 Growth condition: $ |\mu(t,x)|^2 + |\sigma(t,x)|^2 \leq K(1 + |x|^2) $ 與 $t\in[0,T]$我們可推得
\[\begin{array}{l}
E\left[ {\int_0^t {{{\left| {\sigma (s,X_s^{(n)})} \right|}^2}} ds} \right] \le E\left[ {\int_0^t {K(1 + |X_s^{(n)}{|^2})} ds} \right]\\
 \Rightarrow E\left[ {\int_0^t {{{\left| {\sigma (s,X_s^{(n)})} \right|}^2}} ds} \right] \le \int_0^t {K(1 + E|X_s^{(n)}{|^2})} ds\\
 \Rightarrow E\left[ {\int_0^t {{{\left| {\sigma (s,X_s^{(n)})} \right|}^2}} ds} \right] \le K\int_0^t {(1 + B)} dBs = tK(1 + B)\\
 \Rightarrow E\left[ {\int_0^t {{{\left| {\sigma (s,X_s^{(n)})} \right|}^2}} ds} \right] \le TK(1 + B) <infty
\end{array}
\]故$\sigma(t,X_t^{(n)}) \in \mathcal{H}^2[0,T]$，因此我們可以使用Ito isometry：
\[E\left[ {{{\left( {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)}^2}} \right] = E\left[ {\int_0^t \sigma  {{(s,X_s^{(n)})}^2}ds} \right]
\]由Growth condition: $ |\mu(t,x)|^2 + |\sigma(t,x)|^2 \leq K(1 + |x|^2) $ 與 $t\in[0,T]$可推得
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow E\left[ {{{\left( {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)}^2}} \right] \le KE\left[ {\int_0^t {(1 + |X_s^{(n)}{|^2})} ds} \right]\\
 \Rightarrow E\left[ {{{\left( {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)}^2}} \right] \le K\left[ {\int_0^t {(1 + E\left[ {|X_s^{(n)}{|^2}} \right])} ds} \right]\\
 \Rightarrow E\left[ {{{\left( {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)}^2}} \right] \le TK(1 + B)
\end{array}
\]最後我們要證明下一步跌代 $X_t^{(n+1)}$ 亦為 $L^2$ -bounded on $[0,T]$；亦即要證明
\[
\displaystyle \sup_{0 \leq t \leq T} E[ |X_t^{(n+1)}|^2] < \infty
\]我們利用一個基本的FACT： $(u+v+w)^2 \leq 3(u^2 + v^2 +w^2) $；故可得
\[
E\left[ {{{\left( {X_t^{(n + 1)}} \right)}^2}} \right] = E\left[ {{{\left( {{x_0} + \int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds + \int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)}^2}} \right]\\
\Rightarrow E\left[ {{{\left( {X_t^{(n + 1)}} \right)}^2}} \right] \le 3E\left[ \begin{array}{l}
{x_0}^2 + {\left( {\int_0^t \mu  (s,X_s^{(n)})ds} \right)^2}\\
 \ \ \ \ \ \ + {\left( {\int_0^t \sigma  (s,X_s^{(n)})dBs} \right)^2}
\end{array} \right] < \infty \]
至此證明完畢。亦即我們的Picard iteration 是well-defined 且 $L^2$ bounded on $[0,T]$。


在有了以上結果之後，下一步便是要證明我們的Picard Iteration 確實會收斂到某個limit，且我們如果能驗證此limit為SDE的解 (符合存在性定理的條件)。則我們便可說在這些條件之下SDE的解存在。進而透過之前介紹的唯一性條件。可知此SDE的解存在 且唯一。

這些步驟將留待下一篇文章我們再進行介紹。