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[系統理論] 透過 Fourier transform of correlation function 求隨機過程的頻譜

這次要介紹對於一個 隨機過程而言,如何對其討論 Fourier transform ? 給定 廣義平穩 (Wide-sense stationary (WSS) )隨機過程 $X_t$,其 autocorrelation function  僅與任意給定兩時刻 $t_1, t_2$之差有關,故我們定義 \[ E[X_{t_1} X_{t_2}] :=R_X(t_1 - t_2) \]現在令 $t_1 = t + \tau$ 且 $t_2 = t$ 我們可將上式 autocorrelation function, $R_X(t_1 - t_2)$ 用一單變數函數改寫,記做 $R_X( \tau)$ 且滿足下列定義 \[ R_X(\tau) :=E[X_{t + \tau}X_{t}] \] 我們可對 $R_X(\tau)$ 取 Fourier transform 如下 \[ S_X(f) := \int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j 2 \pi f \tau}d\tau \]且 Inverse Fourier transform \[ R_X(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}S_X(f) e^{j 2 \pi f \tau} d f \] Comment: 上述 $S_X(f)$ 又稱為功率頻譜密度( power spectral density ),我們會在以下說明。 隨機過程的功率 以及 功率頻譜 (Power Spectral and Power in Process) 為了解釋上述的結果現在我們從能量觀點來觀察一個隨機過程: 對一個隨機過程 $X_t$ 其 total energy 定義為 \[ \int_{-\infty}^{\infty} X_t^2dt \] 而我們亦可定義 平均功率 (average power) 為 \[ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X_t^2 dt \]但由於上述 total energy 與 average power 為對隨機過程平方做積分,其積分結果仍為隨機變數。故我們需加上期望值確保其不再隨機。故我們定義 期望平均功率(e