[系統理論] 透過 Fourier transform of correlation function 求隨機過程的頻譜

這次要介紹對於一個 隨機過程而言，如何對其討論 Fourier transform ?

給定 廣義平穩 (Wide-sense stationary (WSS) )隨機過程 $X_t$，其 autocorrelation function  僅與任意給定兩時刻 $t_1, t_2$之差有關，故我們定義
\[
E[X_{t_1} X_{t_2}] :=R_X(t_1 - t_2)
\]現在令 $t_1 = t + \tau$ 且 $t_2 = t$ 我們可將上式 autocorrelation function, $R_X(t_1 - t_2)$ 用一單變數函數改寫，記做 $R_X( \tau)$ 且滿足下列定義
\[
R_X(\tau) :=E[X_{t + \tau}X_{t}]
\]

我們可對 $R_X(\tau)$ 取 Fourier transform 如下
\[
S_X(f) := \int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j 2 \pi f \tau}d\tau
\]且 Inverse Fourier transform
\[
R_X(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}S_X(f) e^{j 2 \pi f \tau} d f
\]
Comment:
上述 $S_X(f)$ 又稱為功率頻譜密度( power spectral density )，我們會在以下說明。


隨機過程的功率 以及 功率頻譜 (Power Spectral and Power in Process)
為了解釋上述的結果現在我們從能量觀點來觀察一個隨機過程：
對一個隨機過程 $X_t$ 其 total energy 定義為
\[
\int_{-\infty}^{\infty} X_t^2dt
\] 而我們亦可定義 平均功率 (average power) 為
\[
\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X_t^2 dt
\]但由於上述 total energy 與 average power 為對隨機過程平方做積分，其積分結果仍為隨機變數。故我們需加上期望值確保其不再隨機。故我們定義 期望平均功率(expected average power)
\[
P_X := E\left[ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X_t^2 dt \right]
\]對於 WSS 隨機過程，我們改寫上式 (透過 Fubini's theorm可以對換 期望值 與 積分順序。)
\[\begin{array}{l}
{P_X} = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {E\left[ {X_t^2} \right]} dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {{R_X}\left( {t - t} \right)} dt = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {{R_X}\left( 0 \right)} dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{{2T}}{R_X}\left( 0 \right)\int_{ - T}^T 1 dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {R_X}\left( 0 \right)
\end{array}
\]由之前我們定義的對 WSS隨機過程之 Fourier transform (事實上這邊我們用 Inverse Fourier transform)，可知
\[\begin{array}{l}
{R_X}(\tau ) = \int_{-\infty} ^\infty  {{S_X}} (f){e^{j2\pi f\tau }}df\\
 \Rightarrow {R_X}\left( 0 \right) = \int_{-\infty} ^\infty  {{S_X}} (f)df
\end{array}\]且由於我們有 $E[X_t^2] = R_X(t-t) = R_X(0)$，故總結以上結果，我們有
\[
P_X := E[X_t^2] = R_X(0) = \int_{-\infty} ^\infty  {{S_X}} (f)df
\]

注意到 $S_X(f)$ 為頻率的函數，故我們稱其為 spectral，且又如同機率 $P(\cdot)$ 為機率密度 $f$ 的積分 e.g., $P(X \in B)  =  \int_B f(x)dx $，對於 expected average power 而言
\[
{P_X} = \int_{-\infty} ^\infty  {{S_X}} (f)df
\]亦可發現 $S_X(\cdot)$ 扮演類似 機率密度的角色，故我們稱之為 spectral density。

以下我們羅列幾個重要的已知結果：

========================
FACT 1: WSS 隨機過程的 autocorrelation function $R_X(t)$ 確實為 real even function ($R_X(t)$ 為實 偶函數)。
========================

Proof: 
由 $R_X(\tau)$ 之定義 $E[X_{t + \tau}X_t]$  可知其為 real function，故我們僅須證明其亦為 even function，也就是要證明 $R_X(\tau) = R_X(-\tau)$，故我們寫下
\[\begin{array}{l}
{R_X}\left( \tau  \right) = {R_X}\left( {\left( {t + \tau } \right) - t} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{X_{t + \tau }}{X_t}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{X_t}{X_{t + \tau }}} \right] = {R_X}\left( {t - \left( {t + \tau } \right)} \right) = {R_X}\left( { - \tau } \right)  \ \ \ \ \square
\end{array}\]

========================
FACT 2: 令WSS 隨機過程 $X_t$ 的 autocorrelation function $R_X(\tau)$ ，則對任意 $\tau$，
\[
|R_X(\tau)| \le R(0)
\]========================

Proof: 
我們要證明 $R(0)$ 確實為 $R_X(\tau)$ 的最大值。現在觀察
\[|{R_X}(\tau )| = |E[{X_{t + \tau }}{X_t}]|
\]由 Cauchy-Schwarz inequality $|E[XY]|^2 \le E[X^2]E[Y^2]$ 可知
\[\begin{array}{l}
|{R_X}(\tau )| = |E[{X_{t + \tau }}{X_t}]|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \sqrt {E[{X_{t + \tau }}^2]E[{X_t}^2]}
\end{array}\]且 $ {R_X}(0) = \underbrace {E[X_t^2]}_{ \ge 0} = \underbrace {E[{X_{t + \tau }}^2]}_{ \ge 0} \ge 0$ 我們可得
\[{R_X}(0) \ge \sqrt {{R_X}^2\left( 0 \right)}  = {R_X}\left( 0 \right) \ \ \ \ \square
\]


透過上述結果 (FACT 1 )我們可以證明 $S_X(f)$ 亦為 real and even function。

========================
FACT 2:
$S_X(f)$ 為 real even function
========================

Proof
利用 Euler formula: $e^{j \omega t} = \cos(\omega t) + j \sin (\omega t)$，我們可改寫 $S_X(f)$
\[\begin{array}{l}
{S_X}(f): = \int_{ - \infty }^\infty  {{R_X}} (\tau ){e^{ - j2\pi f\tau }}d\tau \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty  {{R_X}} (\tau )\cos \left( {2\pi f\tau } \right)d\tau  + j\int_{ - \infty }^\infty  {{R_X}} (\tau )\sin \left( {2\pi f\tau } \right)d\tau \ \ \ \ (*)
\end{array}
\]由 FACT 1 於 $R_X(\tau)$ 為 real 且 even。且 $\cos(2 \pi f \tau)$ 為 even function，$\sin( 2 \pi f \tau)$ 為 odd function，故我們可推知

${R_X}(\tau )\cos \left( {2\pi f\tau } \right)$ 為 even function

${R_X}(\tau )\sin \left( {2\pi f\tau } \right)$ 為 odd function

又注意到 $(*)$ 中 等號右方第二個積分式：
\[
\int_{ - \infty }^\infty  {{R_X}} (\tau )\sin \left( {2\pi f\tau } \right)d\tau
\] 其中的 integrand 為 real odd function，故積分值為 $0$，亦即 $(*)$ 式變為
\[
S_X(f) = \int_{ - \infty }^\infty  {{R_X}} (\tau )\cos \left( {2\pi f\tau } \right)d\tau
\]上式積分中的 integrand 為 real even function，故 $S_X(f)$ 亦為 real and even。 $\square$

[系統理論] Fourier Transform and Laplace Transform

我們首先看看 雙邊形拉氏轉換 (Bilateral Laplace transform)：
對訊號 $x(t)$ 我們定義 Bilateral Laplace transform :
\[
X(s) := \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
\]且 $s = \sigma + j \omega$ 為 complex variable 。

注意到如果我們令 $\sigma =0$，亦即 $s = j \omega$ (purly imaginary)， 則上式變為
\[
X(s)|_{s=j \omega} = X(j\omega ) = \int_{{-\infty }}^\infty  x (t){e^{ - j\omega t}}dt
\] 上式即為 Fourier Transform。

事實上， Laplace transform 亦與 Fourier transform 可以有更直接的關係，現在我們讓 $s$ 變回原本的 complex variable 形式： $s = \sigma + j \omega$ 並代回 Laplace transform 我們可得
\[\begin{array}{l}
{\left. {X\left( s \right)} \right|_{s = \sigma  + j\omega }} = X\left( {\sigma  + j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - \left( {\sigma  + j\omega } \right)t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty  {\left[ {x\left( t \right){e^{ - \sigma t}}} \right]{e^{ - j\omega t}}dt}
\end{array}\]我們可以觀察到上式為 $x(t) e^{\sigma t}$ 的 Fourier transform，亦即我們可以把 $x(t)$ 的 Laplace transform 視為 $x(t) e^{\sigma t}$ 的 Fourier transform。

Comments:
1. 我們在此並未給定 $\sigma $ 的正負，故 此 real expoential 訊號 $e^{-\sigma t}$ 可以隨 時間 $t$ 遞增或者遞減。

2. 回憶 Fourier transform 並非對任意訊號都收斂 (需要滿足 Dirchlet conditons)，故 對於前述將訊號 $x(t)$ 的 Laplace transform 視為 $x(t) e^{- \sigma t}$ 的 Fourier transform 的觀點亦必須考量收斂性，故我們引入一個收斂性的定義 ：
收斂範圍 (Region of Convergence, ROC)：是指 一個訊號 $x(t)$ 則其 $x(t) e^{-\sigma t}$ 的 Fourier Transform 收斂 (存在)的範圍。亦即使 $X(s)$ 積分收斂的範圍。

3. 若 $X(s)$ 的 ROC 不包含虛軸，Laplace transform 仍然存在，但 Fourier transform 不存在!!

現在我們看看下面的例子：

Example 1
考慮單邊 decaying exponential 訊號：
\[
x(t) = e^{-t}u(t)
\]是計算 其對應的 Fourier transform, Laplace transform 與 ROC。
Solution
Fourier transform:
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{ - t}}u(t){e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - t}}{e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{1 + j\omega }}
\end{array}
\]接著我們看 Laplace transform
\[\begin{array}{l}
X(s): = \int_{{0^ - }}^\infty  x (t){e^{ - st}}dt = \int_{{0^ - }}^\infty  {{e^{ - t}}u(t)} {e^{ - st}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - t\left( {1 + s} \right)}}} dt = \frac{1}{{1 + s}}
\end{array}
\] ROC 為 $\{s: \cal{Re}\{s\} > -1 \}$ (有包含虛軸 $j \omega$ 故 Fourier transform 存在且 可用 $s= j \omega$ 帶入 Laplace transform 而得) $\square$

Example 2:
若現在改成 one-sided growing exponential:
\[
x(t) = e^tu(t)
\]試求 Laplace transform 與 ROC。
Solution
上式 Laplace transform 為
\[
X(s) = \frac{1}{s-1}
\]且 ROC 為 $\{s: \cal{Re}\{s\} >1 \}$ (但不包含虛軸 Fourier transform 不存在!!)。 $\square$



單邊型拉氏轉換 ( Unilateral Laplace transform)
現在我們看看 單邊型 Laplace transform：看看 Laplace transform 與 Fourier transform 差別
考慮一訊號 $x(t)$ ， 定義 Unilateral Laplace transform 如下
\[
X(s) := \int_{0^-}^\infty x(t) e^{-st}dt
\] 現在將上式與 Fourier transform 定義做比較
\[
X(j \omega) := \int_{-\infty}^{\infty}x(t) e^{-j \omega t} dt
\]讀者可以發現上式非常相近，除了以下兩點差異

1. Laplace transform 的積分範圍是在 $0 \le t < \infty$，且上式中 $(0^-)$表示考慮了在 $t=0$處的任意脈衝或者高階奇異函數(singular function)；反之 Fourier Transform 積分範圍是 $-\infty < t < \infty$
2. Laplace transform 積分式中的變數 $s$ 為 複數平面中的收斂區間 (Region of Convergence, ROC) 中的任意 complex number；亦即 $s = \sigma + j \omega $ 其中 $\sigma$ 為實部，$\omega$為虛部。反之， Fourier Transform: $j \omega$落在虛軸

Comments:
1. 考慮一訊號 $x(t) = 0, \forall t <0$ (亦即考慮訊號從時間 $t=0$ 開始，之前都不考慮)，且其 Laplace transform, $X(s)$ 的 ROC 包含虛軸，則 Laplace Transform 與 Fourier Transform 仍相等

\[X(s) = X(j\omega )\]亦即 Fourier transform 為 Laplace transform 用 $s = j \omega$ 帶入。

2. 若 $X(s)$ ROC 不包含 虛軸，則 Fourier transform 不存在!! (但 Laplace transform仍存在於 其 ROC中)

3. 若訊號 $x(t) \neq 0, \forall t<0$，則 Fourier transform 不等於 Laplace transform。

現在我們看一個例子：
Example: Laplace Transform of Unit Step Signal 
考慮單位步階函數 $u(t)$ 定義如下
\[u\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t > 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \le 0
\end{array} \right.\]試求其 Laplace transform 與 ROC。
Solution
由 Laplace transform 我們可得
\[
U(s) = \int_{0^-}^{\infty} u(t) e^{-st} dt = 1/s
\]這試圖告訴我們 Fourier transform "似乎" 就是 $U(j \omega) = \frac{1}{j \omega}$，但注意到 $U(s)$ 的收斂範圍 ROC 為 $\{\cal{Re}\{s\} >0\}$。不包含虛軸!! 故 Fourier Transform 並不存在!
或者我們換個角度檢視 $U(j \omega) = 1/ j \omega$，此結果在 $\omega =0$處無定義!。
 $\square$

Comments:
上述例子我們發現 Unit step signal 的 Fourier transform 有問題，儘管如此，我們仍可針對 Unit step function 定義合適的 Fourier transform。回憶 Fourier transform 的積分性質：
\[\int_{ - \infty }^t x (\tau )d\tau \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\cal{F}} \frac{1}{{j\omega }}X(j\omega ) + \pi X(0)\delta (\omega )\]
由於 $u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d\tau$，故利用上式 積分性質 ( 其中 $X(j \omega) = \cal{F}\{\delta(t)\}=1$) 可得
\[\begin{array}{l}
U\left( {j\omega } \right) = \frac{1}{{j\omega }} \cdot 1 + \pi X(0)\delta (\omega )\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{j\omega }} + \pi \delta (\omega )
\end{array}\]上式即為 Unit step function 的 Fourier transform。

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[系統理論] 連續時間 週期訊號的 Fourier Transform Representation

延續前篇
[系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation，我們知道 非週期訊號$x(t)$ 若滿足 Dirchlet conditions 則 Fourier Transform 存在，且我們可寫成
\[\left\{ \begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} \ \ \ \  (1) \\
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \ \ \ \ (2)
\end{array} \right.\]上式中 $(1)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform，$(2)$ 稱為 Inverse Fourier Transform。

事實上，對於週期訊號而言，除了 Fourier Series 之外， 我們亦可對 週期訊號 求解 Fourier Transform 。 那麼該怎麼做呢?

想法: 透過 Impulse function 幫助我們對 Fourier Transform 進行"取樣"

首先我們先做個觀察如下：
考慮一個訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform $X(j \omega)$ 為落在 $\omega = \omega_0$ 且面積為 $2 \pi$ 的單位脈衝函數如下
\[
X(j \omega) = 2 \pi \delta(\omega - \omega_0)
\]現在利用 Inverse Fourier Transform 我們可得回 $x(t)$
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {2\pi \delta (\omega  - {\omega _0}){e^{j\omega t}}d\omega}  = {e^{j{\omega _0}t}}
\end{array}
\]上述的結果暗示了我們可以得到 $x(t) = e^{j k \omega_0t}$，此 complex exponential 訊號確實為週期訊號。 現在我們回憶 Fourier Series  Representation，週期訊號 $x(t)$ 可以透過 complex exponential 做線性組合。故我們試圖拓展上述想法，目標是如果可以找出一個 Fourier Transform $X(j \omega)$ 使得 $x(t)$ 具有 Complex exponential 做線性組合的形式 (亦即具有 Fourier Series 的形式)，我們便大功告成

現在我們拓展上述想法，由於前述 我們利用脈衝函數當作 Fourier Transform 確實可以得回 complex exponential 訊號，故我們繼續沿用此脈衝函數，且更進一步拓展為一組脈衝函數的線性組合看看會有甚麼發現。

故考慮 $x(t)$ 的 Fourier Transform, $X(j \omega)$ 為 一組脈衝函數的線性組合
\[X\left( {j\omega } \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} \]則透過 Inverse Fourier Transform 我們可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} {e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\end{array}\]上式即為 Fourier Series。

小結：
若 週期函數 $x(t)$ 存在 Fourier Series
\[
x(t) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\] 則其對應的 Fourier Transform: $X(j \omega)$ 為 一組脈衝函數的線性組合
\[X\left( {j\omega } \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} \]
一般而言，對於週期函數我們可預先求解 Fourier coefficient, $a_k$ ，若需要計算其對應的 Fourier Transform，則直接使用上式


我們現在看一些例子：
Example 1
考慮週期方波訊號如下圖

試求其Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
首先注意到此方波訊號為週期方波，且滿足 Dirchlet conditions，故存在 Fourier Series。因此我們先求解 Fourier Series Coefficient：
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\frac{{{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}}}{{2j}} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\sin k{\omega _0}{T_1}
\end{array}\]且 由 $T = 2 \pi/ \omega_0$ 帶入上式，
\[{a_k} = \frac{1}{{k\pi }}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right), \; k \neq 0 \ \ \ \ (*)
\]且若 $k=0$，可計算得到 $a_0$
\[{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right)dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {1dt}  = \frac{{2{T_1}}}{T} \ \ \ \ (**)
\]有了Fourier Series Coefficients 之後，我們便可計算其對應的 Fourier Transform。現在回憶對於週期訊號的 Fourier Transform 為 面積為 $2 \pi$ 且頻率等分的脈衝函數的線性組合，亦即
\[
X(j \omega) = 2 \pi \sum_{k = - \infty}^{\infty}a_k \delta( \omega - k \omega_0)
\]現在代入我們剛剛算出的 Fourier Series Coefficient，我們可得
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = 2\pi \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} \delta (\omega  - k{\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = 2\pi \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{{k\pi }}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)} \delta (\omega  - k{\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = 2\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{k}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)} \delta (\omega  - k{\omega _0}) \ \ \ \ (\star)
\end{array}\]上式即為 週期方波的 Fourier Transform。 $\square$

Comments
延續上例，現在我們來看看 Fourier Transform 與 Fourier Series 的差別，令 $T = 4 T_1$，我們用  $(\star)$ 繪製 Fourier Transform 的圖形

圖1. Fourier transform plot for periodic square wave

接著透過 $(*)$ 與 $(**)$ 我們可繪製 Fourier Series Coefficients 的圖形

圖2. Fourier series plot for periodic square wave

其中Fourier Series Coefficient 可由我們先前推出的式子計算而得：
 $a_0 = 1/2,$ $a_1 = a_{-1}=1/\pi$, $a_3 = a_{-3}=-1/3\pi$, $a_5 = a_{-5} = 1/5\pi$
注意到 圖2 的橫坐標 $k$ 表示 第  $k$ 個 fundamental frequency, $k \omega_0$。

現在比較兩圖，兩圖可發現 Fourier Transform 對週期方波 不過是透過 脈衝函數 對原本的 "sinc 包烙線" 做取樣 (sampling) 的動作。

圖1 與 圖2 之間差別只有下面兩點：

1. Fourier transform 圖形採用脈衝函數 (impulse function, $\delta(\cdot)$) 而 Fourier Series 採用條狀圖 (bar graph)。
2. Fourier transform 為 Fourier Series 放大 $2\pi$ 倍

Example 2 (Impulse Train)
考慮下列 脈衝週期訊號
\[x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\delta \left( {t - kT} \right)} \]試求 Fourier Series coefficients 與 Fourier transform。
Solution
由於 脈衝週期訊號 $x(t)$ 週期為 $T$，且滿足 Dirchlet condtions，故我們有 Fourier series coefficient:
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\underbrace {\int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} }_{ = {e^{ - jk{\omega _0}0}} = 1} = \frac{1}{T}
\end{array}\]接著計算此週期脈衝訊號的 Fourier transform，由前面討論可知週期訊號 $x(t)$ 的 Fourier transform 為
\[X(j\omega ) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  2 \pi {a_k}\delta (\omega  - k{\omega _0}) = \frac{{2\pi }}{T}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\delta (\omega  - k\frac{{2\pi }}{T})} \]

Example 3 (Cosine Function)
考慮 $x(t) := \cos(\omega_0 t)$，試求 Fourier transform。

Solution
由於 $x(t)$ 為週期訊號，我們可知其 Fourier transform 可表為 脈衝函數的線性組合
\[
X(j \omega) = 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k \delta(\omega - k \omega_0) \ \ \ \ (*)
\] 其中 $a_k$ 為 Fourier series coefficient，由於 $\cos(\omega_0 t)$ 可寫為 complex exponential 如下
\[\cos \left( {{\omega _0}t} \right) = \frac{{{e^{j{\omega _0}t}} + {e^{ - j{\omega _0}t}}}}{2}\] (亦即只有 $k = \pm 1$ 的 Fourier coefficient) 故可知 $a_1 = a_{-1} =  1/2$。現在將此結果帶回 $(*)$ 我們得到
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = 2\pi \frac{1}{2}\delta (\omega  - {\omega _0}) + 2\pi \frac{1}{2}\delta (\omega  ++ {\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega   +{\omega _0}) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

Example 4 (Scaled Cosine Function)
現在考慮 $x(t) := \cos(\omega_0 t) /a, \; a>0$ 試求其對應的 Fourier transform。

Solution
由 Example 3，我們已知 $\cos(\omega_0 t)$ 的 Fourier transform 為
\[
\pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega  - {\omega _0})
\] 故 $x(t) = \cos(\omega_0 t) /a $ 的 Fourier transform 由 linearity 可知
\[
X(j \omega) = \frac{1}{a} \left [\pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega  - {\omega _0})\right] \ \ \ \ \square
\]
Comments:
若我們要求以頻率 $f$ 表示 $(\omega = 2 \pi f)$，則 Example 4 中的結果 變為
\[\begin{array}{l}
X(f) = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi f - 2\pi {f_0}) + \pi \delta (2\pi f - 2\pi {f_0})} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right)) + \pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right))} \right]\;
\end{array}\]利用脈衝函數的 scaling 性質 ：
\[
\delta(a t) = \frac{1}{|a|} \delta(t)
\]改寫前式
\[\begin{array}{l}
X(f) = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right)) + \pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right))} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{a}\left[ {\pi \frac{1}{{2\pi }}\delta \left( {f - {f_0}} \right) + \pi \frac{1}{{2\pi }}\delta \left( {f - {f_0}} \right)} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2a}}\left[ {\delta \left( {f - {f_0}} \right) + \delta \left( {f - {f_0}} \right)} \right]\;
\end{array}\]

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation

先前我們提及 對於 週期訊號 可以透過 Fourier Series Represenation，但如果要處理的對象是 非週期訊號 (aperiodic) 該怎麼辦呢?
------------------
基本想法：
設法讓 非週期訊號 用 週期訊號表示，則原本對 週期訊號的 Fourier Series 展開的方法仍然適用。那麼要如何才能辦到? 我們讓非週期訊號以週期 $T \rightarrow \infty$ 的方式重現 週期訊號。
-------------------
下面我們更具體一點的來看看如何實現上述的基本想法，現在考慮 $x(t)$ 為 (有限範圍) 的 連續 非週期訊號如下圖

亦即存在實數 $T_1$ 使得非週期訊號 $x(t) := 0$ 若 $|t| > T_1$。

現在我們複製上面的 有限範圍 ($-T_1 < t < T_1 $) 非週期訊號 $x(t)$，並藉此建構一週期為 $T$ 的 週期訊號 $\tilde{ x}(t)$ 如下：

注意到上圖我們所建構的週期訊號，對 $|t| < T/2 $， $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$。且對於上述週期訊號 $\tilde {x} (t)$，我們有 Fourier Series Pair 如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array} \right.\] 其中 $\omega_0 = 2\pi/T$。

現在注意到因為  $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$ 只有在 $|t| < T/2$ 成立，且對於 $|t| \ge T/2$ 而言， $x(t) =0$，也就是說
\[\tilde x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < T/2\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}otherwise
\end{array} \right.\]故我們可以改寫 Fourier Series coefficient $a_k$ 用 $x(t)$ 表示：
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt = \frac{1}{T}\int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array}\]現在定義
\[X\left( {j\omega } \right): = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\]則 Fourier Series Coefficient $a_k$ 可改寫為
\[
a_k = \frac{1}{T}X(j k \omega_0)
\]且我們所建構的 週期訊號 $\tilde{x}(t)$ 亦可寫為
\[\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}  = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{T}X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\]或者，由 $T = \frac{2 \pi}{ \omega_0}$，我們有
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \]下圖可以說明上式，若讓 $\omega_0 \rightarrow 0$ 則 下圖的面積區域會逼近 其 外緣 $x(t)$。

故現在讓 $T \rightarrow \infty$ 則因為 $T = 2 \pi/ \omega_0$，故我們有 $\omega_0 \rightarrow 0$，且 $\tilde{x}(t) \rightarrow x(t)$ 且上式的 summation 過渡成積分：
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}  \to x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }
 \] 或者我們可寫
\[\mathop {\lim }\limits_{{\omega _0} \to 0} \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} {\omega _0} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \]現在我們總結如下：
非週期函數的可以視為 週期函數 Fourier Series 的極限 ($T \rightarrow \infty$)，如下：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \\
X\left( {j\omega } \right){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\end{array} \right.\]上式稱為 Fourier Transform Pair 。

Comments:
1. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 稱為 Inverse Fourier Transform； $X(j \omega)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform 或者稱 Fourier integral。

2. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 仍具備 Fourier Series 的本質：將非週期訊號用 complex exponential 做線性組合。

3. 對比於 Fourier Series，非週期訊號的 Fourier Transform, $X(j\omega)$ 又稱為 $x(t)$的 頻譜 (spectrum)，因為其提供了對於不同頻率上，將 $x(t)$ 用 complex expoential 做線性組合 所需要的資訊。

4. 儘管 Fourier transform 獲得巨大的成功，但其 積分收斂性問題仍揮之不去，在控制理論中，Fourier transform 只能分析穩定系統，對於不穩定系統並不存在 Fourier transform，所幸此問題可透過 單邊型拉氏轉換(Unilateral Laplace Transform) 進一步拓展 Fourier transform 使其亦可分析不穩定系統，亦即
\[
X(s) := \cal{L}[x(t)]= \int_{0^-}^\infty x(t) e^{-st} dt
\]其中 $s = \sigma + j \omega$，$X(s)$ 稱為 s-domain function。
 Laplace Transform 可視為 Fourier Transform 的進一步推廣。而如果我們讓 $\sigma =0$，亦即 $s= j \omega$，可得到 Fourier Transform (在系統理論中 $s = j \omega$又稱 頻率響應)。

5.  若下面三個 Dirchlet conditions 滿足，則非週期訊號保證 Fourier Transform 存在：

• $x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即 $\int_{-\infty}^\infty |x(t)|dt < \infty$
• $x(t)$ 在任意有限區間內必須有 bounded variation，亦即 在任意區間內，只有有限最大值或最小值。
• $x(t)$ 在任意有限區間內，只有有限個不連續點。

6. Fourier Transform 亦可適用於 週期訊號。此部分我們之後的文章會在做介紹。

現在我們看下面一些例子：
Example 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-a |t|}, \;\; a>0
\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution:
注意到 $x(t) = e^{-a |t|}$ 為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們可求 Fourier Transform，利用 Fourier Transform formula
\[
X(j \omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-a |t|}e^{-j \omega t} dt \ \ \ \ (*)
\]注意到
\[{e^{ - a\left| t \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{ - at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
{e^{at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.
\]故上式 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{ - a|t|}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - at}}} {e^{ - j\omega t}}dt + \int_{ - \infty }^0 {{e^{at}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{a + j\omega }} + \frac{1}{{a - j\omega }}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{2a}}{{{a^2} + {\omega ^2}}}. \ \ \ \ \  \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 2
考慮下列訊號
\[
x(t) = \delta (t)
\]其中 $\delta(t)$ 為單位脈衝函數 (Unit Impulse Function) ，試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
單位脈衝函數為非週期函數(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們計算其Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt = \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( {t - 0} \right)} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{ - j\omega 0}} = 1. \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 3
考慮下列方波訊號
\[x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < {T_1}\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > {T_1}
\end{array} \right.\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
注意到上式方波為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，我們計算 其 Fourier Transform
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt}  = \int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{j\omega }}\left( {{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}} \right) = \frac{2}{\omega }\frac{{{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}}}{{2j}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{\omega }\sin \left( {\omega {T_1}} \right) \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 4
考慮訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform 為
\[X\left( {j\omega } \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < W\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > W
\end{array} \right.\]試求其原本訊號 $x(t) =?$
Solution
利用 Inverse Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - W}^W {{e^{j\omega t}}d\omega } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\frac{1}{{jt}}\left( {{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}} \right)} \right] = \frac{1}{{\pi t}}\left( {\frac{{{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}}}{{2j}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\pi t}}\sin \left( {Wt} \right). \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]


下面例子讓讀者自行計算：
Practice 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-at}u(t), \;\; a>0
\]其中 $u(t)$為單位步階函數(Unit Step function) 定義如下
\[u\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.\]試求其 Fourier Transform $X(j \omega) =?$

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems