跳到主要內容

[系統理論] Fourier Transform and Laplace Transform

我們首先看看 雙邊形拉氏轉換 (Bilateral Laplace transform):
對訊號 $x(t)$ 我們定義 Bilateral Laplace transform :
\[
X(s) := \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
\]且 $s = \sigma + j \omega$ 為 complex variable 。

注意到如果我們令 $\sigma =0$,亦即 $s = j \omega$ (purly imaginary), 則上式變為
\[
X(s)|_{s=j \omega} = X(j\omega ) = \int_{{-\infty }}^\infty  x (t){e^{ - j\omega t}}dt
\] 上式即為 Fourier Transform。

事實上, Laplace transform 亦與 Fourier transform 可以有更直接的關係,現在我們讓 $s$ 變回原本的 complex variable 形式: $s = \sigma + j \omega$ 並代回 Laplace transform 我們可得
\[\begin{array}{l}
{\left. {X\left( s \right)} \right|_{s = \sigma  + j\omega }} = X\left( {\sigma  + j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - \left( {\sigma  + j\omega } \right)t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty  {\left[ {x\left( t \right){e^{ - \sigma t}}} \right]{e^{ - j\omega t}}dt}
\end{array}\]我們可以觀察到上式為 $x(t) e^{\sigma t}$ 的 Fourier transform,亦即我們可以把 $x(t)$ 的 Laplace transform 視為 $x(t) e^{\sigma t}$ 的 Fourier transform。

Comments:
1. 我們在此並未給定 $\sigma $ 的正負,故 此 real expoential 訊號 $e^{-\sigma t}$ 可以隨 時間 $t$ 遞增或者遞減。

2. 回憶 Fourier transform 並對任意訊號都收斂 (需要滿足 Dirchlet conditons),故 對於前述將訊號 $x(t)$ 的 Laplace transform 視為 $x(t) e^{- \sigma t}$ 的 Fourier transform 的觀點亦必須考量收斂性,故我們引入一個收斂性的定義 :
收斂範圍 (Region of Convergence, ROC):是指 一個訊號 $x(t)$ 則其 $x(t) e^{-\sigma t}$ 的 Fourier Transform 收斂 (存在)的範圍。亦即使 $X(s)$ 積分收斂的範圍。

3. 若 $X(s)$ 的 ROC 不包含虛軸,Laplace transform 仍然存在,但 Fourier transform 不存在!!

現在我們看看下面的例子:

Example 1
考慮單邊 decaying exponential 訊號:
\[
x(t) = e^{-t}u(t)
\]是計算 其對應的 Fourier transform, Laplace transform 與 ROC。
Solution
Fourier transform:
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{ - t}}u(t){e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - t}}{e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{1 + j\omega }}
\end{array}
\]接著我們看 Laplace transform
\[\begin{array}{l}
X(s): = \int_{{0^ - }}^\infty  x (t){e^{ - st}}dt = \int_{{0^ - }}^\infty  {{e^{ - t}}u(t)} {e^{ - st}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - t\left( {1 + s} \right)}}} dt = \frac{1}{{1 + s}}
\end{array}
\] ROC 為 $\{s: \cal{Re}\{s\} > -1 \}$ (有包含虛軸 $j \omega$ 故 Fourier transform 存在且 可用 $s= j \omega$ 帶入 Laplace transform 而得) $\square$

Example 2:
若現在改成 one-sided growing exponential:
\[
x(t) = e^tu(t)
\]試求 Laplace transform 與 ROC。
Solution
上式 Laplace transform 為
\[
X(s) = \frac{1}{s-1}
\]且 ROC 為 $\{s: \cal{Re}\{s\} >1 \}$ (但不包含虛軸 Fourier transform 不存在!!)。 $\square$



單邊型拉氏轉換 ( Unilateral Laplace transform)
現在我們看看 單邊型 Laplace transform:看看 Laplace transform 與 Fourier transform 差別
考慮一訊號 $x(t)$ , 定義 Unilateral Laplace transform 如下
\[
X(s) := \int_{0^-}^\infty x(t) e^{-st}dt
\] 現在將上式與 Fourier transform 定義做比較
\[
X(j \omega) := \int_{-\infty}^{\infty}x(t) e^{-j \omega t} dt
\]讀者可以發現上式非常相近,除了以下兩點差異
  1. Laplace transform 的積分範圍是在 $0 \le t < \infty$,且上式中 $(0^-)$表示考慮了在 $t=0$處的任意脈衝或者高階奇異函數(singular function);反之 Fourier Transform 積分範圍是 $-\infty < t < \infty$
  2. Laplace transform 積分式中的變數 $s$ 為 複數平面中的收斂區間 (Region of Convergence, ROC) 中的任意 complex number;亦即 $s = \sigma + j \omega $ 其中 $\sigma$ 為實部,$\omega$為虛部。反之, Fourier Transform: $j \omega$落在虛軸

Comments:
1. 考慮一訊號 $x(t) = 0, \forall t <0$ (亦即考慮訊號從時間 $t=0$ 開始,之前都不考慮),且其 Laplace transform, $X(s)$ 的 ROC 包含虛軸,則 Laplace Transform 與 Fourier Transform 仍相等
\[X(s) = X(j\omega )\]亦即 Fourier transform 為 Laplace transform 用 $s = j \omega$ 帶入。

2. 若 $X(s)$ ROC 不包含 虛軸,則 Fourier transform 不存在!! (但 Laplace transform仍存在於 其 ROC中)

3. 若訊號 $x(t) \neq 0, \forall t<0$,則 Fourier transform 不等於 Laplace transform。

現在我們看一個例子:
Example: Laplace Transform of Unit Step Signal 
考慮單位步階函數 $u(t)$ 定義如下
\[u\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t > 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \le 0
\end{array} \right.\]試求其 Laplace transform 與 ROC。
Solution
由 Laplace transform 我們可得
\[
U(s) = \int_{0^-}^{\infty} u(t) e^{-st} dt = 1/s
\]這試圖告訴我們 Fourier transform "似乎" 就是 $U(j \omega) = \frac{1}{j \omega}$,但注意到 $U(s)$ 的收斂範圍 ROC 為 $\{\cal{Re}\{s\} >0\}$。不包含虛軸!! 故 Fourier Transform 並不存在!
或者我們換個角度檢視 $U(j \omega) = 1/ j \omega$,此結果在 $\omega =0$處無定義!。
 $\square$

Comments:
上述例子我們發現 Unit step signal 的 Fourier transform 有問題,儘管如此,我們仍可針對 Unit step function 定義合適的 Fourier transform。回憶 Fourier transform 的積分性質:
\[\int_{ - \infty }^t x (\tau )d\tau \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\cal{F}} \frac{1}{{j\omega }}X(j\omega ) + \pi X(0)\delta (\omega )\]
由於 $u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d\tau$,故利用上式 積分性質 ( 其中 $X(j \omega) = \cal{F}\{\delta(t)\}=1$) 可得
\[\begin{array}{l}
U\left( {j\omega } \right) = \frac{1}{{j\omega }} \cdot 1 + \pi X(0)\delta (\omega )\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{j\omega }} + \pi \delta (\omega )
\end{array}\]上式即為 Unit step function 的 Fourier transform。

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if  ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做  若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。 在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種 雙條件句 ,通常可以直接將其視為" 定義(Definition)" 待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他 假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B. 注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。 現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B" 好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢? 事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是 "( A if B ) and ( A only if B )" 那麼先針對第一個部分  A if B  來看, 其實這句就是說  if B then A, 更直白一點就是 "if B is true, then A is also true".  在數學上等價可以寫為 "B implies A" .  或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A"  現在針對第二個部分  A only if B 此句意指  "If B is not true, then A is also not true". 所以如果已知 A is true,  那麼按照上句不難推得 B is also true 也就是說  A only if B  等價為 "If A is true then B is also true". 同樣,也可以寫作   "A implies B"   或者用箭頭表示  "A   $\Rightarrow$     B".

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣), 也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。 事實上想法是這樣的: 比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "! 但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說 \[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T \]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$??? 再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right] \],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。 也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。 故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來) ================== Definition: Norm 考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質