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[數學分析] Compactness 與 Totally Boundedness

令 $X$ 為 metric space 且 metric 為 $d$;亦即 $(X,d)$ 為 metric space。

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Definition: Compact Metric Space
(a) 由 open subsets 所形成的集合  $\{G_\alpha\}_{\alpha \in A} $ 被稱為 open cover 若 下列條件成立:
對任意 $x \in X$ 存在 $\alpha \in A$ 使得 $x \in G_\alpha$。

若 index set $A$ 為 finite 則 $\{G_\alpha\}$ 為 finite open cover。

(b) 我們說 metric space $(X,d)$ 為 compact 若下列條件成立:
對任意 open cover of $X$,存在 有限個 subcover of $X$。
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Comment
注意到上述定義在 metric space $(X,d)$ 之上,若我們現在考慮其上的子集合:
\[
A \subset X
\]則 $A$ 仍為一個 metric space 且 metric 為 $d$;亦即 $(A,d)$ 仍為一個 metric space。


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Definition: Compact Set
集合 $A \subset X$ 為 compact 若下列條件成立:
metric space $(A,d)$ 為 compact (亦即:對任意 open cover 存在 有限 subcover of $A$。)
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========================== Definition: Relatively Compact
集合 $A \subset X$ 稱為 relatively compact 若下列條件成立
\[
\bar A \subset X \text{ is compact}
\]上述 $\bar{A}$ 表示 closure of $A$
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========================== Theorem…

[數學分析] Weierstrass Theorem (1) - 先備概念

回憶在數學分析的內容中,我們試圖利用 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中 dense的想法,指出 任意在 $\mathbb{R}$ 上的實數 $r$,皆可透過 一組 sequence $\{q_n\} \in \mathbb{Q}$ 逼近 。也就是說 $q_n \rightarrow r$ 當 $n \rightarrow \infty$。那麼我們想問在函數上是否也有類似的概念? Weierstrass Approximation Theorem 便是試圖回答這個問題。

Weierstrass  Approximation Theorem 主要想法: 利用多項式 均勻收斂 連續函數!!

不過在介紹之前,我們需要一些先備知識。
首先看個 算子 (operator) 的概念:
定義 $A: \text{one function} \rightarrow \text{different function}$ 為一個算子(operator)

我們看個例子:

------------ Example Fourier transform of 函數 $f$ 為一個算子 (將函數 $f$ 映射到另一個函數 $F$) \[F(j\omega ) = \int_{ - \infty }^\infty  f (t){e^{ - j\omega }}dt
\]-----------
那麼算子何其多? 哪一種算子適合我們?? 以下我們介紹一個即為有用的特殊算子:摺積(Convolution)

=================== Definition: Convolution (Integral) 給定兩可積函數 $f,g$ on $\mathbb{R}$,則其折積(convolution) 定義為 \[(f*g)\left( x \right): = \int f (x - y)g(y)dy = \int g (x - y)f(y)dy
\]===================
Example $f,g$ 為在 $[-1,1]$ 上的週期函數,且 $|\delta| <1$ \[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1/2\delta ,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} …