令 $X$ 為 metric space 且 metric 為 $d$;亦即 $(X,d)$ 為 metric space。 ========================== Definition: Compact Metric Space (a) 由 open subsets 所形成的集合 $\{G_\alpha\}_{\alpha \in A} $ 被稱為 open cover 若 下列條件成立: 對任意 $x \in X$ 存在 $\alpha \in A$ 使得 $x \in G_\alpha$。 若 index set $A$ 為 finite 則 $\{G_\alpha\}$ 為 finite open cover。 (b) 我們說 metric space $(X,d)$ 為 compact 若下列條件成立: 對任意 open cover of $X$,存在 有限個 subcover of $X$。 ========================== Comment 注意到上述定義在 metric space $(X,d)$ 之上,若我們現在考慮其上的子集合: \[ A \subset X \]則 $A$ 仍為一個 metric space 且 metric 為 $d$;亦即 $(A,d)$ 仍為一個 metric space。 ========================== Definition: Compact Set 集合 $A \subset X$ 為 compact 若下列條件成立: metric space $(A,d)$ 為 compact (亦即:對任意 open cover 存在 有限 subcover of $A$。) ========================== ========================== Definition: Relatively Compact 集合 $A \subset X$ 稱為 relatively compact 若下列條件成立 \[ \bar A \subset X \text{ is compact} \]上述 $\bar{A}$ 表示 closure of $A$ =============
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya