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目前顯示的是 一月, 2015的文章

[線性系統] 離散時間系統的可觀察性質 (Observability)

考慮 離散時間 線性非時變 (Discrete Time Linear Time Invariant, DT-LTI)系統
\[\begin{array}{l}
x(k + 1) = Ax(k)\\
y(k) = Cx(k)
\end{array}\] $x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^p$。

我們說上述系統為 可觀察 (observable) 或稱 $(A,C)$ 可觀察 若下列條件成立:
存在 常數 $N < \infty$ ,使得對任意 初始狀態 $x(0)$ 而言,可用 $N$ 組量測輸出 $\{y(0), y(1),...,y(N-1)\}$  uniquely 決定該初始狀態 $x(0)$。

Comment
1. 上述定義可類比 可控制性條件,

2. 事實上若我們無法透過 $n$ 組 量測輸出 來區別 $x(0)$ 則就算給額外再多的量測輸出 e.g., $N>n$ 組 仍無法區別 $x(0)$。(此結果可由 Cayley-Hamilton Theorem 證明。)

以下我們看個 unobservable 的例子
上方的方塊圖 顯示了 子系統 $G(z)$ 的狀態 無法從輸出 $Y(z)$ 觀察到。 (圖中的 $(z)$ 表示對原系統做 Z-transform。)



觀察性基本問題:
透過 sensor 所量測到的輸出 $y$ 是否足夠讓我們找出系統 初始狀態 $x(0)$ uniquely?

為何我們關心 初始狀態? 因為一但有初始狀態則其餘任意時刻狀態均可透過狀態方程求解獲得。亦即 給定 $x(0)$ 則
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(1) = Ax(0)\\
x(2) = {A^2}x(0)\\
...\\
x\left( N \right) = {A^N}x\left( 0 \right)
\end{array} \right.\]故若給定初始狀態 $x(0)$ 則其餘任意時刻狀態 $x(1), x(2),...,x(N)$均可透過狀態方程 $x(k+1) = Ax(k)$ 獲得。

但現在我們僅給定 $y(0),...,y(N)$ 亦即我們僅知道
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y(0) = Cx(0)\\
y(1) = C…

[博弈論] Kelly criterion - Simplest Case

這次要介紹 凱利 J. Kelly, Jr 在 1956 年利用 Information Theory 所提出的一套 賭博理論結果,又稱作 凱利判準 (Kelly Criterion) ,此結果其後又被其在同僚 E. D. Throp 進一步推廣,且在近幾十年中已被逐步推廣且應用在 避險基金 與 投信銀行 等金融業中。以下我們將簡介最簡單的 Kelly criterion 型式:

凱利判準 (Kelly Criterion): 賭徒參與賭局,應追求 最大化 長期 報酬增長率 $G$ (asymptotically maximize the growth rate of wealth)
凱利公式 (Kelly formula): 此公式用來計算 每次賭金押注應該是多少可達成最大化 長期報酬增長率 $G$。

不過在介紹之前我們先考慮以下一個簡單的賭局情形:

Example
考慮 某賭徒身懷 $V_0$ 元全身資產 興致勃勃的 參與 某 投擲銅板 賭局,若銅板出現正面,則賭徒可贏得 $1$ 元,反之若出現反面則 賭徒輸掉 $1$元。且每次投擲銅板之間彼此互為獨立,現在給定 銅板出現正面機率為 $p$ 則反面出現的機率為 $1-p$ 並且 定義隨機變數 $X_k$表示 第 $k$ 次 投擲銅板,若銅板出現正面 我們記做 $X_k = 1$ 反之則記做 $X_k = -1$。

試問 (a) 賭徒在 第 $k$ 次 投擲銅板 的獲利期望值為何 $E[X_k]=?$
(b) 令第 $k$ 次賭注為 $B_k$ $(k=1,...,n)$,試問累計到 $n$ 次投擲銅板時 的獲利期望值為何 $E[V_n]=?$

Solution
(a) 第 $k$ 次 投擲銅板 的獲利期望值 由定義可知
\[\begin{array}{l}
E\left[ {{X_k}} \right] = 1 \cdot P\left( {{X_k} = 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot P\left( {{X_k} =  - 1} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}\;
\end{array} = 1 \cdot p + \left( { - 1} \right) \cdot \left( {1 - p…

[隨機分析] Euler-Maruyama 法求 隨機微分方程 數值解 (利用 MATLAB)

在此我們介紹 Euler-Maruyama Method 求解 隨機微分方程   (Stochastic Differential Equation, SDE),現在 考慮  SDE 的積分型式 可寫為:
\[
X(t) = X_0 + \int_0^t f(X(s))ds + \int_0^t g(X(s))dW(s), \;\; 0 \le t \le T
\]其中 $f, g$ 為 純量函數 且 初始值 $X_0$ 為隨機變數;另外 第二項積分為 Ito integral。上式若有解則其解 $X(t)$ 對任意 $t$ 皆為隨機變數。

一般而言,上式可改寫為較為簡潔的 隨機微分方程的微分形式:
\[
dX(t) = f(X(t))dt + g(X(t)) dW(t),\;\; X(0)=X_0, \; 0 \le t \le T \ \ \ \ \ (*)
\]
Comments: 
1. 讀者需注意我們不可寫 $dW(t)/dt$ 因為 Browian motion 為 處處連續但處處不可微 (with probability 1)
2. 若 $g = 0$ 且 $X_0$ 為常數,則 SDE 退化成一般的 ODE;亦即
\[
dX(t) = f(X(t))dt, \;\; X(0)=X_0, \; 0 \le t \le T
\] (此時即可用 Euler method 求數值解。)
3. 關於 SDE 何時有解,讀者可參考BLOG 相關系列文章 :
[隨機分析] Uniqueness and Existence theorem for S.D.E. (1)- Uniqueness
[隨機分析] Uniqueness and Existence theorem for S.D.E. (2) - Picard Iteration for SDE
[隨機分析] Uniqueness and Existence theorem for S.D.E. (3) - An intermediate result (Upper bound) of Picard Iteration
[隨機分析] Uniqueness and Existence theorem for S.D.E. (4) - The Existence of Solution



那麼現在回歸主題,在此我們的目的是…