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[系統理論] Picard Iteration

考慮狀態空間
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = f\left( {t,{\bf{x}}\left( t \right)} \right),{\bf{x}}\left( 0 \right) = {{\bf{x}}^0}\]則 Picard Iteration 給定
1. Initial guess
\[
x(t) = x^0
\]2.. Update Step
\[{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \]
注意到上述迭代式為 sequence of $\{{\bf x}^k\}$


Example 1:
考慮下列非線性系統
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1}\\
{{\dot x}_2}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\\
t{x_1} + {e^{ - t}}{x_2}
\end{array} \right]
\]且 $x_1(0) = 2$ 與 $x_2(0) = -1$。
試透過 Picard iteration 求取 ${\bf x }^1(t)$

Solution:
\[\begin{array}{l}
{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
{{\bf{x}}^1}(t) = {{\bf{x}}^0}(t) + \int_0^t {\left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\left( \tau  \right)\\
\tau {x_1} + {e^{ - \tau }}{x_2}\left( \tau  \right)
\end{array} \right]} d\tau \\
 \Rightarrow {{\bf{x}}^1}(t) = \left[ \begin{array}{l}
2\\
 - 1
\end{array} \right] + \int_0^t {\left[ \begin{array}{l}
\cos 2\\
\tau 2 + {e^{ - \tau }}\left( { - 1} \right)
\end{array} \right]} d\tau \\
 \Rightarrow {{\bf{x}}^1}(t) = \left[ \begin{array}{l}
2\\
 - 1
\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}
t\cos 2\\
{t^2} + \left( {{e^{ - t}} - 1} \right)
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
2 + t\cos 2\\
{t^2} + {e^{ - t}} - 2
\end{array} \right]

\end{array}\]

Exercise: 讀者可自行嘗試透過 Picard Iteration 求解 $x^2(t)$ 與 $x^3(t)$


Example 2: Saturation 
考慮非線性系統 $\dot{x} = f(x)$ 且 $x(0) =1$ 其中
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x > 2\\
\frac{1}{2}x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left| x \right| \le 2\\
 - 1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x <  - 2
\end{array} \right.\]試透過 Picard iteration 求取 $ x^1(t)$ 與 $x^2(t)$
Solution:
首先計算 $x^1(t)$:
\[\begin{array}{l}
{x^1}\left( t \right) = {x^0}\left( t \right) + \int_0^t {f\left( {{x^0}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^1}\left( t \right) = 1 + \int_0^t {f\left( 1 \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^1}\left( t \right) = 1 + \frac{1}{2}t
\end{array}\]
接著我們計算 $x^2(t)$:
\[\begin{array}{l}
{x^2}\left( t \right) = {x^0}\left( t \right) + \int_0^t {f\left( {{x^1}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = 1 + \left\{ \begin{array}{l}
\int_0^t {\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}\tau } \right)d\tau ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2} \\
\frac{1}{2}\int_0^t {1d\tau } ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = 1 + \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{4}{t^2}} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2\\
\frac{1}{2}t,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1 + \frac{t}{2} + \frac{1}{8}{t^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2\\
1 + \frac{t}{2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.
\end{array}\]

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這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
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[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
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假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B.
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現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

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"A if and only if B" "A iff…