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[線性代數] 淺論座標

令 $V$ 為 $n$ 維向量空間,則我們知道 $V$ 有基底 (basis) $S$ 且其元素為 $n$ 維向量。現在我們定義 $S :=\{{\bf v}_1,...{\bf v}_n\}$ 為向量空間 $V$ 的一組有序基底 (ordered basis) 則任意向量 ${\bf v} \in V$ 可由上述有序基底唯一表示成以下的線性組合形式:
\[
{\bf v} = a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf v}_2 + ... + a_n {\bf v}_n
\]其中 $a_1,...a_n \in \mathbb{R}^1$

Definition: Coordinate Vector
定義 ${\bf v}$ 對應於有序基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector) 為
\[{[{\bf{v}}]_S}: = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right]\] 且其中 $[{\bf v}]_S$ 的元素 $a_i$ 稱之為 ${\bf v}$ 對應於有序基底的座標。

Example 1:
考慮向量空間 \[
V:= P_2 := \{p(t) = a_2t^2 + a_1t + a_0: a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}^2\}
\]且令基底 $S= \{t^2, t, 1\}$ 現考慮 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$ 求 $[{\bf v}]_S = ?$

Solution
注意到 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$,暫稱此式為 $(*)$ 又因為 ${\bf v} \in V$ 故由 $\bf v$ 可由 $S$ 的有序基底 $\{ t^2, t,1\}$ 透過線性組合唯一表示:也就是說
\[{\bf{v}} = p\left( t \right) \in {P_2} \Leftrightarrow {\bf v} = {a_2}{t^2} + {a_1}t + {a_0} \;\;\;\;\; (\star)
\]
故比較 $(*)$ 與 $(\star)$ 兩…

[自動控制] 穩態誤差與特性方程反求 轉移函數問題

考慮單位回授控制系統如下圖


現在假設
1. 閉迴路系統對 單位步階訊號 的穩態誤差為零:
2. 閉迴路轉移函數 $Y(s)/R(s)$ 的特性方程式為 $s^3 + 4s^2 + 6s +4$

試決定 $G(s)$

Solution:
首先決定誤差轉移函數 $E(s)$ 並將其以 $G(s)$ 與 $R(s)$ 表示:由於 $Y(s) = G(s)E(s)$ 且 $E(s) = R(s) - Y(s)$ 我們可推得
\[
E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - G(s) E(s)
\]故
\[
E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}
\]
現在令 $G(s) := \frac{n(s)}{d(s)}$ 則
\[E(s) = \frac{{R(s)}}{{1 + G(s)}} = \frac{{R(s)}}{{1 + \frac{{n\left( s \right)}}{{d\left( s \right)}}}} = \frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}}R(s)
\]故由條件 2 可知
\[
d(s) + n(s) = s^3 + 4s^2 + 6s +4
\]
接著由條件1可知此閉迴路系統對 單位步階訊號 的穩態誤差為零:亦即 $\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sE(s) = 0$,故取 $R(s) = 1/s$ 為單位步階訊號,我們有
\[\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}}\frac{1}{s} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}} = 0\]或者
\[\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{{d\left( s \right)}}{{{s^3} + 4{s^2} + 6s + 4}} = 0
\]且注意到轉移函數必須為真分形式 亦…