[線性代數] 線性系統已知兩解，試求其餘可能解

我們知道線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 的解僅有三種可能

1. 無解
2. 有解，且有無窮多解
3. 有解，且僅有唯一解

也就是說 $A {\bf x} = {\bf b}$ 不可能僅有兩解，故現在我們考慮以下問題：

令 ${\bf x}_1$ 與 ${\bf x}_2$ 恰好為線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 之兩解，則由前所述可知線性系統不可能只有這兩個解，故此系統必定是有無窮多解，現在我們想問是否能找出其餘的解：


由於 ${\bf x}_1$ 與 ${\bf x}_2$ 恰好為線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 之兩解，故我們有 $A {\bf x}_1 = {\bf b}$ 與 $A {\bf x}_2 = {\bf b}$。我們考慮新的可能解為前兩者之線性組合
\[
{\bf y} := c {\bf x}_1 + d {\bf x}_2
\]其中 $c,d$ 為待定係數。現在我們企圖檢驗什麼情況之下，可以使 $\bf y$ 成為我們的線性系統的解。亦即我們希望找出 $c,d$ 使得 $A {\bf y} = {\bf b}$

故我們觀察左式可知
\[\begin{array}{l}
A{\bf{y}} = A\left( {c{{\bf{x}}_1} + d{{\bf{x}}_2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = A\left( {c{{\bf{x}}_1}} \right) + A\left( {d{{\bf{x}}_2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = c\underbrace {A{{\bf{x}}_1}}_{ = {\bf{b}}} + d\underbrace {A{{\bf{x}}_2}}_{ = {\bf{b}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = c{\bf{b}} + d{\bf{b}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left( {c + d} \right){\bf{b}}
\end{array}\]上式表明當 $c+d = 1$ 的時候，${\bf y}$ 為我們線性系統的解。亦即若選 $d=1+c$ 且 $c \in \mathbb{R}$ 則
\[
{\bf y} = c {\bf x}_1 +  (1-c) {\bf x}_2
\]為線性系統的解。