給定 初始值問題(Initial Value Problem, IVP)
\[
y'(t) = f(t,y(t)),\;\;\;\; y(0) = y_0
\] 一般而言，上述 一般的 IVP 問題並沒有辦法寫下解析解，但我們可以退而求其次詢問是否有合適的數值方法求解上述 初始值問題，最為基本的想法是利用所謂的 Forward Euler method:
Forward Euler Method:
\[
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
\]其中 $t_n = n h$。令終止時間 $T$ 在 $n$ 步之後到達，則 $T = n h$。
Comment:
1. 上式中 $h$ 稱為 迭代步長 (step size)。
2. $t_{n+1} = t_n + h$
3. 儘管 Forward Euler Method 非常簡便，但其數值誤差相當大，以下我們看個實際例子：
Example:
考慮 IVP $ y'=t-y $ 且 $ y(0) = 0 $ ，
(a) 試求解上述 IVP
(b) 現在令 $h := 0.1$ ，試求用 Forward Euler Method 求解 $y_2$
(Note: $y_2 = y(t_2) = y(2h)$)
(c) 比較 (a) 與 (b)
Solution (a):
首先改寫原式：
\[y'\left( t \right) = - y\left( t \right) + t
\]由上式可知此為線性常係數 ODE 其解可立即求得
\[\begin{array}{l}
y\left( t \right) = {e^{ - 1}}y\left( 0 \right) + \int_0^t {{e^{ - 1\left( {t - s} \right)}}sds} \\
\Rightarrow y\left( t \right) = 0 + \underbrace {{e^{ - t}}\int_0^t {{e^s}sds} }_{ = {e^{ - t}}\left( {{e^t}(t - 1) + 1} \right)}\\
\Rightarrow y\left( t \right) = (t - 1) + {e^{ - t}}
\end{array}\]
Solu…
\[
y'(t) = f(t,y(t)),\;\;\;\; y(0) = y_0
\] 一般而言，上述 一般的 IVP 問題並沒有辦法寫下解析解，但我們可以退而求其次詢問是否有合適的數值方法求解上述 初始值問題，最為基本的想法是利用所謂的 Forward Euler method:
Forward Euler Method:
\[
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
\]其中 $t_n = n h$。令終止時間 $T$ 在 $n$ 步之後到達，則 $T = n h$。
Comment:
1. 上式中 $h$ 稱為 迭代步長 (step size)。
2. $t_{n+1} = t_n + h$
3. 儘管 Forward Euler Method 非常簡便，但其數值誤差相當大，以下我們看個實際例子：
Example:
考慮 IVP $ y'=t-y $ 且 $ y(0) = 0 $ ，
(a) 試求解上述 IVP
(b) 現在令 $h := 0.1$ ，試求用 Forward Euler Method 求解 $y_2$
(Note: $y_2 = y(t_2) = y(2h)$)
(c) 比較 (a) 與 (b)
Solution (a):
首先改寫原式：
\[y'\left( t \right) = - y\left( t \right) + t
\]由上式可知此為線性常係數 ODE 其解可立即求得
\[\begin{array}{l}
y\left( t \right) = {e^{ - 1}}y\left( 0 \right) + \int_0^t {{e^{ - 1\left( {t - s} \right)}}sds} \\
\Rightarrow y\left( t \right) = 0 + \underbrace {{e^{ - t}}\int_0^t {{e^s}sds} }_{ = {e^{ - t}}\left( {{e^t}(t - 1) + 1} \right)}\\
\Rightarrow y\left( t \right) = (t - 1) + {e^{ - t}}
\end{array}\]
Solu…