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目前顯示的是 二月, 2016的文章

[數值方法] Forward Euler's Method 與 其改良型 求解 ODE

給定 初始值問題(Initial Value Problem, IVP)
\[
y'(t) = f(t,y(t)),\;\;\;\; y(0) = y_0
\] 一般而言,上述 一般的 IVP 問題並沒有辦法寫下解析解,但我們可以退而求其次詢問是否有合適的數值方法求解上述 初始值問題,最為基本的想法是利用所謂的 Forward Euler method:

Forward Euler Method:
\[
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
\]其中 $t_n = n h$。令終止時間 $T$ 在 $n$ 步之後到達,則 $T = n h$。

Comment:
1. 上式中 $h$ 稱為 迭代步長 (step size)
2. $t_{n+1} = t_n + h$
3. 儘管 Forward Euler Method 非常簡便,但其數值誤差相當大,以下我們看個實際例子:


Example: 
考慮 IVP $ y'=t-y $ 且 $ y(0) = 0 $ ,
(a) 試求解上述 IVP
(b) 現在令 $h := 0.1$ ,試求用 Forward Euler Method 求解 $y_2$
(Note: $y_2 = y(t_2) = y(2h)$)
(c) 比較 (a) 與 (b)

Solution (a):
首先改寫原式:
\[y'\left( t \right) =  - y\left( t \right) + t
\]由上式可知此為線性常係數 ODE 其解可立即求得
\[\begin{array}{l}
y\left( t \right) = {e^{ - 1}}y\left( 0 \right) + \int_0^t {{e^{ - 1\left( {t - s} \right)}}sds} \\
 \Rightarrow y\left( t \right) = 0 + \underbrace {{e^{ - t}}\int_0^t {{e^s}sds} }_{ = {e^{ - t}}\left( {{e^t}(t - 1) + 1} \right)}\\
 \Rightarrow y\left( t \right) = (t - 1) + {e^{ - t}}
\end{array}\]
Solu…

[基礎數學] 區別引理,定理,系理以及命題

在一般數學教科書或者文獻之中,我們很常看到作者使用各式各樣的引理(Lemma),命題(Proposition),定理(Theorem),初次接觸時並不容易區別彼此之間的差別,但身為讀者該如何區分其輕重?

以下給出一般的觀點:

最重要的結果,我們一般將其稱作 定理 (Theorem) ,接續該定理所衍生的立即應用,我們稱做 系理(Corollary)。另外用以證明上述定理的小結果稱之為 引理 (Lemma),讀者可以將引理視為 "引出" 定理的 前置結果。

另外如果不是太過重要的結果,則作者一般會將該結果稱作 命題 (Proposition)。最後稍微提一下有時候作者會採用 宣稱 (Claim) 這是最弱的結果,一般不太重要。

Comments:
1. 上述只是一般觀點,並不代表所有引理都不重要,比如說 機率論與 測度論中 最重要的三大收斂性結果之一的 Fatou's Lemma 本身儘管是 引理,但卻是極為重要的結果。(另外兩個重要的收斂性結果為 Dominated Convergence Theorem 與 Monotone Convergence Theorem)

2. 一般而言, 定理是作者認為最為重要的結果,所以讀者在閱讀文獻時,若遇到定理可多留心這個部分。


[投資理論] 數學能擊敗金融市場嗎?

以下為個人在 University of Wisconsin-Madison 臺灣學生會 2016年 第一場學術沙龍中 分享的簡報:

數學能擊敗金融市場嗎?-從控制理論觀點 (2016, 02. 16)

講者:謝宗翰
講題:數學是否能擊敗金融市場?-從控制理論觀點
簡介:此講題將試圖回答一個基本問題:是否存在一種「必勝法」,使得投資績效具備恆正報酬?我們將從現代投資理論出發,最終止於財務工程與控制理論,過程中,我們將逐步揭示何時可以透過數學幫助我們建構一組可行的「最佳」交易策略。


關於 UW-Madison 臺灣學生會 連結
https://sites.google.com/site/satuwmadison/