2016年2月18日 星期四

[基礎數學] 區別引理,定理,系理以及命題

在一般數學教科書或者文獻之中,我們很常看到作者使用各式各樣的引理(Lemma),命題(Proposition),定理(Theorem),初次接觸時並不容易區別彼此之間的差別,但身為讀者該如何區分其輕重?

以下給出一般的觀點:

最重要的結果,我們一般將其稱作 定理 (Theorem) ,接續該定理所衍生的立即應用,我們稱做 系理(Corollary)。另外用以證明上述定理的小結果稱之為 引理 (Lemma),讀者可以將引理視為 "引出" 定理的 前置結果。

另外如果不是太過重要的結果,則作者一般會將該結果稱作 命題 (Proposition)。最後稍微提一下有時候作者會採用 宣稱 (Claim) 這是最弱的結果,一般不太重要。

Comments:
1. 上述只是一般觀點,並不代表所有引理都不重要,比如說 機率論與 測度論中 最重要的三大收斂性結果之一的 Fatou's Lemma 本身儘管是 引理,但卻是極為重要的結果。(另外兩個重要的收斂性結果為 Dominated Convergence Theorem 與 Monotone Convergence Theorem)

2. 一般而言, 定理是作者認為最為重要的結果,所以讀者在閱讀文獻時,若遇到定理可多留心這個部分。