[微分方程] 人口增長模型

考慮以下初始值問題
\[
\frac{dy}{dt} = ky - cy^2, \;\; y(0) = A \in \mathbb{R}
\]上述微分方程用以描述 具備外在競爭關係 $(-cy^2)$ 的 (人口)成長模型 $(ky)$。一般稱之為 Logistic Equation of Population Growth

Comments:
1. 上述 Logistic Equation 具備 $y' = f(y)$ 形式，其中 $f(y) := ky - cy^2$ ，亦即函數 $f$ 僅與 $y$ 有關而無直接與時間 $t$相關，我們稱此類微分方程為 autonomous equation。


現在我們開始求解 Logistic Equation

Solution:
令 $\phi(t) \neq 0$ 為上述 IVP 在某區間 $I$ 包含 $t=0$ 的解，則在此區間 $I$ 上，我們有
\[
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \;\;\;\;\; (*)
\]注意到儘管上式為非線性，但其具備分離變數形式，故若
\[\begin{array}{l}
k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \ne 0\\
 \Rightarrow \left( {k - c\phi \left( t \right)} \right)\phi \left( t \right) \ne 0
\end{array}
\]亦即 $\phi \left( t \right) \ne 0 $ 且 ${k - c\phi \left( t \right)} \neq 0$(或者等價 $\phi(t) \neq k/c$) 則我們可以將 $(*)$ 改寫為
\[\begin{array}{l}
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right)\\
 \Rightarrow \frac{{\phi '\left( t \right)}}{{k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right)}} = 1
\end{array}
\]對上式兩邊同積分從 $0$ 到 $t$ 可得
\[\int_0^t {\frac{{\phi '\left( s \right)}}{{k\phi \left( s \right) - c{\phi ^2}\left( s \right)}}ds}  = \underbrace {\int_0^t 1 dt}_{ = t}
\]現在令變數變換 $u:= \phi(s)$ 且使用初始條件 $\phi(0) = A$ 我們可將上述積分改寫如下
\[\begin{array}{l}
\int_A^{\phi \left( t \right)} {\frac{1}{{ku - c{u^2}}}} du = t\\
 \Rightarrow \int_A^{\phi \left( t \right)} {\frac{1}{{u\left( {k - cu} \right)}}} du = t \;\;\; (**)
\end{array}
\]注意到左式被積函數可透過部分分式展開如下
\[\frac{1}{{u\left( {k - cu} \right)}} = \frac{C}{u} + \frac{D}{{k - cu}}
\]其中 $C = 1/k$ 且 $D =c/k$ 故 $(**)$ 式子改寫為
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{k}\int_A^{\phi \left( t \right)} {\frac{1}{u}} du + \frac{c}{k}\int_A^{\phi \left( t \right)} {\frac{1}{{k - cu}}} du = t\\
 \Rightarrow \frac{1}{k}\left( {\ln \left| {\phi \left( t \right)} \right| - \ln |A|} \right) + \left( {\frac{1}{{ - k}}} \right)\left( {\ln \left| {k - c\phi \left( t \right)} \right| - \ln \left| {k - cA} \right|} \right) = t\\
 \Rightarrow \frac{1}{k}\left( {\ln \left| {\frac{{\phi \left( t \right)}}{A}} \right|} \right) - \frac{1}{k}\left( {\ln \left| {\frac{{k - c\phi \left( t \right)}}{{k - cA}}} \right|} \right) = t\\
 \Rightarrow \frac{1}{k}\ln \left| {\frac{{\phi \left( t \right)\left( {k - cA} \right)}}{{A\left( {k - c\phi \left( t \right)} \right)}}} \right| = t
\end{array}
\]由上述結果不難求解 $\phi(t)$ 如下
\[\begin{array}{l}
\phi \left( t \right) = \frac{{kA{e^{kt}}}}{{\left( {k - cA} \right) + cA{e^{kt}}}}\\
 \Rightarrow \phi \left( t \right) = \frac{{kA}}{{\left( {k - cA} \right){e^{ - kt}} + cA}}
\end{array}\]自此我們求解完畢，讀者可自行驗證上述解 $\phi(t)$ 確實滿足 Logistic Equaiton 與初始條件。

Comments:
1. 若 $c = 0$，我們可得
\[{\left. {\phi \left( t \right)} \right|_{c = 0}} = {\left. {\frac{{kA}}{{\left( {k - cA} \right){e^{ - kt}} + cA}}} \right|_{c = 0}} = A{e^{kt}}\]亦即滿足 $y' = ky$ 之解。

2. 若 $c \neq 0$ 且 $A \neq 0$ 則我們可推得系統其中的一個穩態解
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \phi \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{kA}}{{\left( {k - cA} \right){e^{ - kt}} + cA}} = \frac{k}{c}\]
3. 若 初始條件 $y(0) = A = 0$ 則 $\phi(t) = 0$ 為第二個穩態解

4. 一般我們稱邏輯函數 (Logistic Function) 為
\[L\left( t \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - t}}}}\]讀者可驗證其函數圖形具有 $S$ 形。現在注意到我們上述所求得的解 $\phi(t)$ 形式具備此邏輯函數的形式，故其 ODE
\[
\frac{dy}{dt} = ky - cy^2
\]我們稱其為 Logistic Equation (of Population Growth)