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[投資理論] 投資組合理論(1)-效用函數與風險趨避性質

這篇文章我們將討論基礎的投資組合理論中關於 效用函數 (Utility Function) 與其性質,建議讀者具備 基礎統計/機率關於期望值計算 與 一點點最佳化 的 能力可以較為有效率理解本文內容。

現在令 $V$ 表示 投資人在 "未來" 的持有資產 (為隨機變數),則我們說 效用函數 為一函數,以下我們記作 $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,其設計目的在於使 投資人具有某種 "判準"(criterion) 使得可以透過 最大化效用函數的期望值 $E[u(V)]$ 來達成投資目標,亦即我們希望
\[
\sup E[u(V)] \;\;\;\; (*)
\]
讀者若對上述 $sup$ 符號不熟,可先想成 $max$ 即可。

注意到上述效用函數的定義十分抽象,還是沒有說明什麼事效用函數,故我們先回答下面兩個問題:
該如何選擇效用函數 $u(\cdot)$?效用函數有什麼種類? 一般而言,在財務上,效用函數的選用是基於個人投資的喜好與風險容忍度以及整體金融環境所定。舉例而言,最簡單的效用函數為令 $u(x) := x$ ,則 由前述目標 $(*)$ 可知我們想要最大化期望資產,也就是
\[
sup E[V]
\]


以下為一些常見的效用函數
1. 對數 效用函數 $u(x) = \log (x)$ (Kelly 賭博理論,又稱 Logarithmic Growth Criterion)
2. 指數 效用函數 $u(x) = -e^{-ax}$ 且 $a>0$
3. 冪次 效用函數 $u(x) :=x^a$ 且 $0<a<1$
4. 二次 效用函數 $u(x) := x - ax^2$ 且 $0<a$ 與 $x < 1/(2a)$ (Markowitz 效率前緣,又稱 Mean-Variance Criterion)

Comments:
對效用函數額外加上常數或者乘上一個常數不改變不等式:亦即 若存在效用函數 $u$ 且兩個不同手邊資產 $V_1, V_2$ 使得
$$
E[u(V_1)] \le E[u(V_2)]
$$
則對任意常數 $a \in \mathbb{R}$ 與 $b>0$ ,利用期望值的線性性質,下列不等式仍成立:
\[
E[a + b u(V_1)]…