[投資理論] 投資組合理論(1)-效用函數與風險趨避性質

這篇文章我們將討論基礎的投資組合理論中關於 效用函數 (Utility Function) 與其性質，建議讀者具備 基礎統計/機率關於期望值計算 與 一點點最佳化 的 能力可以較為有效率理解本文內容。

現在令 $V$ 表示 投資人在 "未來" 的持有資產 (為隨機變數)，則我們說 效用函數 為一函數，以下我們記作 $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，其設計目的在於使 投資人具有某種 "判準"(criterion) 使得可以透過 最大化效用函數的期望值 $E[u(V)]$ 來達成投資目標，亦即我們希望
$$\sup E[u(V)] \;\;\;\; (*)$$
讀者若對上述 $sup$ 符號不熟，可先想成 $max$ 即可。

注意到上述效用函數的定義十分抽象，還是沒有說明什麼事效用函數，故我們先回答下面兩個問題：

1. 該如何選擇效用函數 $u(\cdot)$？
2. 效用函數有什麼種類？

一般而言，在財務上，效用函數的選用是基於個人投資的喜好與風險容忍度以及整體金融環境所定。舉例而言，最簡單的效用函數為令 $u(x) := x$ ，則 由前述目標 $(*)$ 可知我們想要最大化期望資產，也就是
$$sup E[V]$$


以下為一些常見的效用函數
1. 對數 效用函數 $u(x) = \log (x)$ (Kelly 賭博理論，又稱 Logarithmic Growth Criterion)
2. 指數 效用函數 $u(x) = -e^{-ax}$ 且 $a>0$
3. 冪次 效用函數 $u(x) :=x^a$ 且 $0<a<1$
4. 二次 效用函數 $u(x) := x - ax^2$ 且 $0<a$ 與 $x < 1/(2a)$ (Markowitz 效率前緣，又稱 Mean-Variance Criterion)

Comments:
對效用函數額外加上常數或者乘上一個常數不改變不等式：亦即 若存在效用函數 $u$ 且兩個不同手邊資產 $V_1, V_2$ 使得
$$E[u(V_1)] \le E[u(V_2)]$$
則對任意常數 $a \in \mathbb{R}$ 與 $b>0$ ，利用期望值的線性性質，下列不等式仍成立：
$$E[a + b u(V_1)] = a + b E[u(V_1)] \le a + b E[u(V_2)] = E[a + b u(V_2)]$$

由上述 Comment ，我們可以定義兩效用函數之間的等價：

Definition: 給定效用函數 $u$ ，我們可以定義另一個效用函數 $\tilde{u}$ 滿足
$$\tilde{u}(x) = a + b u(x)$$ 其中 $b>0$ ，則此新的效用函數 $\tilde u$ 與原本的 $u$ 等價。


嚴格來說，效用函數的選取效/建構必須滿足以下兩點

Principle 1: 效用函數的遞增性質 (投資者不喜歡損失)：亦即 對任意兩個未來資產 $V_1, V_2$ 滿足 $V_1 < V_2$ 則效用函數必須反映
$$u(V_1) < u(V_2)$$

Principle 2: 投資者為風險趨避 (Risk Aversion)：效用函數必須為 concave 函數。簡而言之，投資人傾向於交易具有確定收益資產的投資標的 (或者說傾向於避免交易具有不確定性收益的投資標的)。

上述 Principle 2 等價以下定義

Definition: Risk Averse Utility
我們說 效用函數 $U$ 在區間 $[a,b]$上 風險趨避 若 $U$ 在 $[a,b]$上為 concave 函數。若 $U$ 為 concave everywhere 則我們稱 $U$ 風險趨避


Comments:
1. 給定函數 $u$  在區間 $[a,b]$ 上二次可導，我們稱 $u$ 為在區間 $[a,b]$ 上 concave 若下列條件成立：
對任意 $x \in [a,b]$，其 $u$ 之二階導數 $u''(x) \le 0$

2. 回憶 Jensen's inequality: 令 $u$ 為 concave 函數，則對任意隨機變數 $V$ 而言，
$$E[u(V)] \le u(E[V])$$

不確定資產的確定性等價 (Certainty Equivalent to Uncertain Wealth $V$)
Definition: 給定 $V$ 為未來持有資產 (隨機變數)，我們稱 $V$ 的 certainty equivalent 為一常數資產 $C$ 滿足
$$u(C) := E[u(V)]$$

由 Jensen's inequality 我們可推得
$$u(C) \le u(E[V])$$ 由 $u$ 遞增且 concave 性質，可推得
$$C \le E[V]$$ 現在令 $V := W + \varepsilon$ 其中 $W$ 為初期手邊資產 (數學上視為平衡點 equilibrium)且 $\varepsilon$ 假設為 均值為 $0$ 的隨機風險 (數學上視為在平衡點附近的擾動 (perturbation near the equilibrium))，則
$$E[u(V)] = E[u(W + \varepsilon)]$$ 現在我們可問 投資者願意額外付多少來屏除此隨機擾動 $\varepsilon$，這額外付出的價格稱之為 風險溢價 (risk premium) ，我們記作 $\pi$ 且定義為
$$E[u(W + \varepsilon)] := u(W-\pi)$$
以下我們討論該如何獲取風險溢價：

現在若考慮隨機風險很小，亦即 $\varepsilon << 1$ ，則我們分別對上式在 $W$處做泰勒展開可得
$$\begin{gathered}   E[u(V )] \cong E\left[ {u\left( W \right) + u'\left( W \right)\varepsilon  + \frac{{u''\left( W \right)}}{2}{\varepsilon ^2}} \right] \hfill \\    = u\left( W \right) + u'\left( W \right)\underbrace {E\left[ \varepsilon  \right]}_{ = 0} + \frac{{u''\left( W \right)}}{2}E\left[ {{\varepsilon ^2}} \right] \hfill \\    = u\left( W \right) + \frac{{u''\left( W \right)}}{2}Var\left( \varepsilon  \right) \;\;\;\; (*)\hfill \\ \end{gathered}$$ 故此
$$u(W - \pi ) \cong u\left( W \right) - u'\left( W \right)\pi \;\;\;\; (**)$$ 由 $(*)$ 與 $(**)$ 可得
$$\begin{gathered}   E[u(W + \varepsilon )] = u(W - \pi ) \hfill \\    \Rightarrow u\left( W \right) + \frac{{u''\left( W \right)}}{2}Var\left( \varepsilon  \right) \cong u\left( W \right) - u'\left( W \right)\pi  \hfill \\    \Rightarrow \pi  \cong \frac{{Var\left( \varepsilon  \right)}}{2}\left( {\frac{{u''\left( W \right)}}{{ - u'\left( W \right)}}} \right): = \frac{{Var\left( \varepsilon  \right)}}{2}\left( {{A_u}\left( W \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered}$$ 其中 $A_u(W)$ 被稱作 Arrow-Pratt absolute risk aversion coefficient。

Definition:
我們說投資人 1 使用效用函數 $u_1$ 是比投資人2 使用效用函數 $u_2$ 更加風險趨避 若下列條件成立：給定初始資產 $W$ 與 zero-mean 隨機風險 $\varepsilon$ 使得
$$A_{u_1}(W) > A_{u_2} (W)$$

上述定義等價為 如果存在某初始資產 $W$ 與 zero-mean 風險 $\varepsilon$ 使得 投資人 1 願意付出比投資人 2 更高的風險溢價 來降低隨機風險，亦即 ($\pi_1 > \pi_2$)，