[微分方程] 變動參數法 求解 二階 常係數 非齊次 微分方程

考慮二階線性非齊次微分方程
$$L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f$$ 其中 $a_0,a_1,a_2$ 為常數且 $f$ 為在某區間 $I$ 上有定義的任意函數，且 $L$ 為 linear operator。一般而言，求解二階線性非齊次 微分方程可透過 待定係數法 (Undetermined Coefficient Method)求解，然而此法僅適用於特定(常見)的外力函數 $f$，比如 $f= c t^k e^{mt}$ 其中 $c$ 為常數，$k$ 為非負整數，$m$ 為實數或者複數。但除此之外其他形式的 $f$，待定係數法並無法協助我們求解特解，故我們在此介紹一種更泛用的解法 稱作 變動參數法 (Variation of Parameter Method)來求解 二階 常係數 非齊次 微分方程 。

Comment:
此法事實上觀賞價值大於實用價值。因為對於任意高階 ODE 此法失效，但若讀者熟悉系統理論，可知道我們有更強大的工具來幫助我們求解 高階 ODE問題：亦即所謂狀態空間表示法 (State Space Representation)，可以將任意高階ODE降為 一階 ODE 系統方程，再透過線性系統理論進行直接求解。


以下我們直接進入主題，考慮二階線性非齊次微分方程
$$L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f$$
現在令 $\phi_1$ 與 $\phi_2$ 為對 $L(y) = 0$ 的一組解基底，且令
$$\psi := u_1 \phi_1 + u_2 \phi_2$$ 其中 $u_1, u_2$為待定函數。(注意，上式中的 $u_1, u_2$ 不為常數而是以 $t$ 為變數的函數！)

現在觀察
$$\begin{array}{l} \psi  = {u_1}{\phi _1} + {u_2}{\phi _2}\\ \psi ' = {u_1}'{\phi _1} + {u_1}{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2} + {u_2}{\phi _2}'\\ \psi '' = {u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + 2{u_1}'{\phi _1}' + 2{u_2}'{\phi _2}' + {u_1}{\phi _1}'' + {u_2}{\phi _2}'' \end{array}$$ 由於 $L(\phi_1) = 0$ 且 $L(\phi_2) =0$ ，透過一連串代數整理，我們有
$$\begin{array}{l} L(\psi ) = {a_0}\psi '' + {a_1}\psi ' + {a_2}\psi \\  = {a_0}\left( {{u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + 2{u_1}'{\phi _1}' + 2{u_2}'{\phi _2}' + {u_1}{\phi _1}'' + {u_2}{\phi _2}''} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + {a_1}\left( {{u_1}'{\phi _1} + {u_1}{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2} + {u_2}{\phi _2}'} \right) + {a_2}\left( {{u_1}{\phi _1} + {u_2}{\phi _2}} \right)\\  = {a_0}\left( {{u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + 2{u_1}'{\phi _1}' + 2{u_2}'{\phi _2}'} \right) + {a_1}\left( {{u_1}'{\phi _1} + {u_2}'{\phi _2}} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + {u_1}\underbrace {L\left( {{\phi _1}} \right)}_{ = 0} + {u_2}\underbrace {L\left( {{\phi _2}} \right)}_{ = 0}\\  = {a_0}\left( {{u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + 2{u_1}'{\phi _1}' + 2{u_2}'{\phi _2}'} \right) + {a_1}\left( {{u_1}'{\phi _1} + {u_2}'{\phi _2}} \right) \end{array}$$ 注意到由於我們要求 $L(\psi ) = f$ 故我們得到條件：
$${a_0}\left( {{u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + 2{u_1}'{\phi _1}' + 2{u_2}'{\phi _2}'} \right) + {a_1}\left( {{u_1}'{\phi _1} + {u_2}'{\phi _2}} \right)=f\;\;\;\;\; (\star)$$ 由於 $u_1, u_2$ 待定，故我們需要兩條方程來解之，現在觀察上述條件，若我們假設
$${{u_1}'{\phi _1} + {u_2}'{\phi _2}}=0\;\;\;\; (*)$$ 則
$${{u_1}''{\phi _1} + {u_2}''{\phi _2} + {u_1}'{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2}'}=0$$ 故現在讓 $(*)$ 成立，則條件 $(\star)$ 可被大幅簡化為
$${a_0}\left( {{u_1}'{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2}'} \right) = f$$ 至此我們獲得了兩條方程來解我們的 $u_1, u_2$，亦即
$$\left\{ \begin{array}{l} {u_1}'{\phi _1} + {u_2}'{\phi _2} = 0\;\\ {u_1}'{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2}' = \frac{f}{{{a_0}}} \end{array} \right.$$ 由上述可解得
$$\begin{array}{l} u_1' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\phi _2}}\\ {f/{a_0}}&{{\phi _2}'} \end{array}} \right|}}{{\underbrace {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\ {{\phi _1}'}&{{\phi _2}'} \end{array}} \right|}_{ = W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)}}};{u_2}' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _1}}&0\\ {{\phi _1}'}&{f/{a_0}} \end{array}} \right|}}{{\underbrace {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\ {{\phi _1}'}&{{\phi _2}'} \end{array}} \right|}_{ = W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)}}}\\  \Rightarrow {u_1}' = \frac{{ - f{\phi _2}}}{{{a_0}W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)}};{u_2}' = \frac{{{\phi _1}f}}{{{a_0}W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)}} \end{array}$$ 由 $u_1', u_2'$ 可透過積分求得 $u_1, u_2$，亦即
$${{u_1} =  - \int {\frac{{f\left( s \right){\phi _2}\left( s \right)}}{{{a_0}W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)\left( s \right)}}ds} ;\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}{u_2}^\prime  = \int {\frac{{{\phi _1}\left( s \right)f\left( s \right)}}{{{a_0}W\left( {{\phi _1},{\phi _2}} \right)\left( s \right)}}} ds}$$

以下我們看個例子：

Example:
試利用 variation of parameter 法求解
$$y''(t) + y(t) = t$$
Proof:
首先求解 null solution $y_n(t)$：令 $\phi(t) = e^{st}$ 代入 ODE 中可得
$$(s^2 + 1)e^{st} = 0$$ 故 $s_{1,2} = \pm i$ 故可得
$$\phi_1(t) = e^{s_1 t}; \;\;\; \phi_2(t) = e^{s_2 t}$$ 讀者可驗證上述 $\phi_1, \phi_2$ 彼此線性獨立 (驗證 Wronksian) 故 null solution
$$\begin{array}{l} {y_n}(t) = {c_1}{\phi _1}(t) + {c_2}{\phi _2}(t)\\  \;\;\;\;\;\;= {c_1}{e^{it}} + {c_2}{e^{ - it}} \end{array}$$ 一旦我們得到 $y_n$ 則可利用 variation of parameter 法 求 particular solution  $y_p(t)$ 令
$$\psi(t) := c_1(t) \phi_1(t) + c_2(t) \phi_2(t) = c_1(t) e^{it} + c_2(t) e^{-it}$$ 則我們可計算
$$\begin{array}{l} \psi (t) = {c_1}\left( t \right){e^{it}} + {c_2}\left( t \right){e^{ - it}}\\ \psi '(t) = \underbrace {\left( {{c_1}'\left( t \right){e^{it}} + {c_2}'\left( t \right){e^{ - it}}} \right)}_{: = 0} + \left( {{c_1}\left( t \right)i{e^{it}} - {c_2}\left( t \right)i{e^{ - it}}} \right)\\ \psi ''(t) = {c_1}'\left( t \right)i{e^{it}} - {c_1}\left( t \right){e^{it}} - {c_2}'\left( t \right)i{e^{ - it}} - {c_2}\left( t \right){e^{ - it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = {c_1}'\left( t \right)i{e^{it}} - {c_2}'\left( t \right)i{e^{ - it}} - {c_1}\left( t \right){e^{it}} - {c_2}\left( t \right){e^{ - it}} \end{array}$$ 注意到上述推倒中我們強制讓
$${{c_1}'\left( t \right){e^{it}} + {c_2}'\left( t \right){e^{ - it}}} :=0 \;\;\; (*)$$ 現在將上述 $\psi, \psi', \psi''$ 代入 ODE中可得
$$\begin{array}{l} \psi ''(t) + \psi (t) = t\\  \Rightarrow \left( {{c_1}'\left( t \right)i{e^{it}} - {c_2}'\left( t \right)i{e^{ - it}} - {c_1}\left( t \right){e^{it}} - {c_2}\left( t \right){e^{ - it}}} \right) + {c_1}\left( t \right){e^{it}} + {c_2}\left( t \right){e^{ - it}} = t\\  \Rightarrow {c_1}'\left( t \right)i{e^{it}} - {c_2}'\left( t \right)i{e^{ - it}} = t \;\;\;\;\; (**) \end{array}$$ 現在觀察 $(*)$ 與 $(**)$ 我們得到一組聯立方程
$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {c_1}'\left( t \right){e^{it}} + {c_2}'\left( t \right){e^{ - it}} = 0\\ {c_1}'\left( t \right)i{e^{it}} - {c_2}'\left( t \right)i{e^{ - it}} = t \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {c_1}'\left( t \right) = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{e^{ - it}}}\\ t&{ - i{e^{ - it}}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&{{e^{ - it}}}\\ {i{e^{it}}}&{ - i{e^{ - it}}} \end{array}} \right|}} = \frac{t}{{2i}}{e^{ - it}};\\ {c_2}'\left( t \right) = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&0\\ {i{e^{it}}}&t \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&{{e^{ - it}}}\\ {i{e^{it}}}&{ - i{e^{ - it}}} \end{array}} \right|}} =  - \frac{t}{{2i}}{e^{it}} \end{array} \right. \end{array}$$ 對 $c_1'(t)$ 與 $c_2'(t)$取積分，可解得 $c_1, c_2$ 如下
$$\left\{ \begin{array}{l} {c_1}\left( t \right) = \frac{1}{{2i}}\int {t{e^{ - it}}dt}  = \frac{1}{2}{e^{ - it}}(t - i);\\ {c_2}\left( t \right) =  - \frac{1}{{2i}}\int {t{e^{it}}dt}  = \frac{1}{2}{e^{it}}(t + i) \end{array} \right.$$ 故 特解
$$\begin{array}{l} {y_p}(t) = {c_1}(t){e^{it}} + {c_2}(t){e^{ - it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{1}{2}{e^{ - it}}(t - i){e^{it}} + \frac{1}{2}{e^{it}}(t + i){e^{ - it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = t \end{array}$$ 最後 完整解
$$y(t) = y_n(t) + y_p(t) = (c_1 e^{it } + c_2 e^{-i t}) + t$$

Comment:
事實上，上述例子可透過 待定係數求解 特解，亦即令
$$y_p(t) := At + B$$ 其中 $A,B$ 為待定常數，現在觀察 $y_p ' = A$ 且
$$y_p''(t) = 0$$ 故代入 $y'' + y =t$ 可得
$$0 + (At+B) = t$$ 亦即 $A=1, B=0$ 亦即我們可直接解得特解
$$y_p(t) = t$$ 而無需如前述 變動餐數法繁複的手段來進行求解。