答案為肯定的,我們將其記錄如下
令 X 為具有任意分佈 fX 且 其支撐集為 X 隨機變數,考慮參數 K∈[0,1]
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Theorem: 函數 g(X,K) 為對參數 K 遞增 with probability one,則 E[g(X,K)] 仍為對 K 遞增
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令 K1,K2∈[0,1] 且 K1≥K2,我們要證明
E[g(X,K1)]≥E[g(X,K2)]現在觀察
{E[g(X,K1)]=∫Xg(x,K1)fX(x)dx;E[g(X,K2)]=∫Xg(x,K2)fX(x)dx由於 g(X,K) 為對參數 K 遞增函數 with probability one,故可知對任意實現 X=x, g(x,K1)≥g(x,K2),又因為 分佈函數 fX 的非負性質,不難得知
∫Xg(x,K1)fX(x)dx≥∫Xg(x,K2)fX(x)dx亦即
E[g(X,K1)]≥E[g(X,K2)]
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