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6/15/2016

[機率論] 期望值保存遞增函數的遞增性質

X 為具有任意分佈 fX 的隨機變數 且我們將其支撐集 (support set) 記作 X,考慮參數 K[0,1] 與 函數 g(X,K) 為對參數 K 遞增函數 with probability one,我們想問當我們對該函數取期望值時,是否 E[g(X,K)]是否仍為對 K 遞增?

答案為肯定的,我們將其記錄如下



X 為具有任意分佈 fX 且 其支撐集為 X 隨機變數,考慮參數 K[0,1]
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Theorem: 函數 g(X,K) 為對參數 K 遞增 with probability one,則 E[g(X,K)] 仍為對 K 遞增
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Proof:
K1,K2[0,1]K1K2,我們要證明
E[g(X,K1)]E[g(X,K2)]現在觀察
{E[g(X,K1)]=Xg(x,K1)fX(x)dx;E[g(X,K2)]=Xg(x,K2)fX(x)dx由於 g(X,K) 為對參數 K 遞增函數 with probability one,故可知對任意實現 X=xg(x,K1)g(x,K2),又因為 分佈函數 fX 的非負性質,不難得知
Xg(x,K1)fX(x)dxXg(x,K2)fX(x)dx亦即
E[g(X,K1)]E[g(X,K2)]

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