[控制理論] 非線性模型預測控制 (0) - 引論

此文我們針對 非線性模型預測控制 (Nonlinear Model Predictive Control, NMPC) 做簡單的介紹： 是一套針對受控廠為 非線性系統 所發展的 回授控制理論，其控制律透過不斷求解最佳化問題而得。以下我們將其簡稱 NMPC。


基本想法：
假設你是一個圍棋高手正在與旗鼓相當的對手對弈，那麼你可能在心中盤算好幾步可能的走法 並同時 試圖來 "預測" 對手的路數，但輪到自己下子的時候，我們只能選取剛才在心中盤算出的所有走法中 " 最佳" 的那一步，並且只動那一步旗，動了之後都必須重新盤算上述過程。這個精神大概與 模型預測控制 本質幾乎相同。就是逐步最佳化，慢慢朝向目標前進。以下我們會逐步將此概念規範化，讀者可以讀完之後再回頭瞧瞧這個基本想法，也許會發現異曲同工之妙。


對 $n=0,1,2,...$，令 $x(n)$ 為當前系統狀態 且 $x^{ref}(n)$ 為 給定的參考目標軌跡。

模型預測控制 的 主要目的：
與一般控制問題相仿，模型預測控制的主要目的不外乎以下兩大類問題：
1. 鎮定(stabilizing)問題。使預測的狀態軌跡 盡可能趨近 零點。
2. 追蹤(tracking)問題。使 預測的狀態軌跡 盡可能跟隨給定的 參考目標軌跡 。

Comments:
1. 若稍有控制背景的讀者不難發現鎮定問題其實是追蹤問題的特例，更進一步地說，所謂追蹤控制問題是指：決定一組控制輸入 $u(n)$ 使得 $x(n)$ 能盡可能緊跟給定的參考狀態軌跡 $x^{ref}(n)$。換而言之，若當前狀態 $x(n)$ 與 $x^{ref}(n)$ 所差甚遠，則我們將盡可能控制此系統軌跡趨近 $x^{ref}(n)$：若當前狀態 $x(n) = x^{ref}(n)$ 則我們將盡可能控制此系統"維 持"在該狀態。

2. 關於鎮定問題提及的對零點追蹤 或者 追蹤問題的參考目標軌跡，都必須滿足隱藏的前提： 零點 或者 參考目標軌跡 必須是系統的 平衡點 (equilibrium point)。否則該系統無法進行鎮定 or 追蹤。


以下我們將介紹一類簡化的 NMPC 問題，並藉此展示此控制方法的一些基本精神。

一類簡化的非線性模型預測控制問題：
令 $x(n) \in X := \mathbb{R}^d$ 且 $u(n) \in U := \mathbb{R}^m$ 考慮 參考軌跡狀態(reference state trajectory)，記作 $x^{ref}(\cdot)$，寫作
\[
x^{ref}(n) :=x_* :=0,\;\;\;\;\; n\geq 0
\]上述 對零點狀態追蹤問題 退化為 鎮定問題。

以控制理論的基本想法，我們很自然想要對 當前狀態 $x(n)$ 與 目標 $x^{ref} = 0$ 之誤差 做回授控制，為了達成此目標，我們期望控制力 $u$ 必須具備以下形式：
$$
u(n) := \mu (x(n))
$$其中 $\mu $ 為 將狀態 $x \in X$ 映到控制輸出值之集合 $U$ 之映射。

系統模型動態(System Model Dynamics)：
模型預測控制的想法在於利用 系統的模型來進行未來狀態軌跡之預測，並且給出適當的目標函數後對其做最佳化求解控制力。更精確的說，系統動態 一般我們寫成下列方程
\[
x^+ = f(x,u) \;\;\;\;\; (*)
\]其中 $f: X \times U \to X$ 為已知且非線性 滿足 將狀態 $x$ 與控制輸出值 $u$ 映到下一個時刻的狀態 $x^+$ 。

預測模型動態(Predictive Model Dynamics)：
現在給定當前狀態 $x(n)$，對任意給定控制序列
\[
u(0),u(1),...,u(N-1)
\]滿足控制區間 $N \geq 2$，我們可以用此 控制序列 以及 給定的當前狀態 作為初始狀態來迭代 $(*)$，如此可得 預測狀態軌跡 $x_u$ 滿足下式：
\[
x_u(0) = x(n); \;\;\;\; x_u(k+1) = f(x_u(k), u(k)),\;\;\;\; k=0,...,N-1 \;\;\;\; (**)
\]由於 $x(n)$ 被作為初始狀態來進行預測，故我們 $x_u(k)$ 實際上為狀態 $x(n+k)$ (對時刻 $t_{n+k}$ ) 的 預測狀態。因此我們得到在時刻 $t_n, t_{n+1},...,t_{n+N}$ 對系統狀態的預測 (與狀態輸入序列 $u(0),...,u(N-1)$有關)。

每時刻的最佳控制力求解：
現在我們使用最佳控制的想法來決定 $u(0),...,u(N-1)$ 使得預測狀態 $x_u$ 能盡可能靠近 $x^{ref} = 0$。為了達成此目標，我們可選定 一距離函數
\[
l(x_u(k),u(k)) : = ||x_u(k)||^2 + \lambda ||u(k)||^2
\]其中 $||\cdot||$ 為 Euclidean norm 且 $\lambda \geq 0$為控制力的權重。則現在我們可以給出最佳控制問題如下
\[\min J\left( {x\left( n \right),u\left( . \right)} \right): = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {l\left( {{x_u}\left( k \right),u\left( k \right)} \right)} \]對 $u(0),...,u(N-1)$ 為admissible 且 $x_u$ 滿足 (**)。

讓我們假設上述最佳控制問題具有解，且此解由一組最佳控制數列 記作
\[
u^*(0),...,u^*(N-1)
\]亦即我們有
\[\mathop {\min }\limits_{u\left( 0 \right),...,u\left( {N - 1} \right)} J\left( {x\left( n \right),u\left( . \right)} \right) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {l\left( {{x_{{u^*}}}\left( k \right),{u^*}\left( k \right)} \right)} \]現在為了讓控制力 $u$ 具有我們需要的回授形式 $\mu(x(n))$ 我們令
\[
\mu(x(n) ) := u^*(0)
\]亦即我們只使用最佳控制序列的第一元素。接著我們重複上述過程：在時刻 $t_{n+1}$ 可量得 $x(n+1)$ 並依此再度執行最佳化求得 $\mu(x(n+1))$。同理，對於時刻 $t_{n+2}$ 可量得 $x_{n+2}$ 並依此執行最佳化得到 $\mu(x(n+2))$...


Comments:
1. 因為受控系統為非線性，一般而言為我們所得到的 回授控制律 $\mu(\cdot)$ 必須透過迭代最佳化演算 而得，沒有解析解，故計算複雜度會是模型預測控制的一大挑戰。
2. 就預測模型觀點而言，我們可看出 預測狀態軌跡 $x_u(k), \;\; k=0,1,2,...,N$ 提供了對原本系統在已知時刻 $t_n$ 對於 $t_n,...,t_{n+N}$ 的預測，以及在時刻 $t_{n+1}$ 對於 $t_{n+1},...,t_{n+N+1}$ 的預測，以及 在時刻 $t_{n+2}$ 對於 $t_{n+2},...,t_{n+N+2}$ 的預測。因此我們可看出預測區間是 "移動" 的，故模型預測控制一般又稱為 移動區間控制 (Moving Horizon Control, MHC) 或稱 (Receding Horizon Control, RHC)
3. 若上述 $f$ 為線性，則上述討論稱之為  線性模型預測控制(Linear Model Predictive Control, LMPC)或者簡稱 模型預測控制 (Model Predictive Control, MPC)