謝宗翰的隨筆

回憶中學時期學過的 幾何平均與算術平均關係：令 $a,b \in \mathbb{R}$則 幾何平均 有 算術平均作為上界 \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \]現在我們將上述結果做一類推廣 Claim:  令 $\theta \in (0,1)$ 且 $a, b \geq 0$則 \[ a^{1-\theta}b^{\theta} \leq (1-\theta)a + \theta b \] 在給出證明之前我們先做出一些說明 Remarks: 1. 上述 claim 不等式左方：$a^{1-\theta}b^{\theta}$ 一般稱作廣義幾何平均 (Generalized Geometric Mean)。 2. 上述 claim 不等式右方：$(1-\theta)a + \theta b$ 有些學者將其稱作廣義算術平均 (Generalized Arthmic Mean)。但若有涉獵凸分析或者凸最優問題的讀者大概不難看出 此式具備 convex combinaiton 的形式。事實上此不等式在 與凸分析中的 log-convexity 有相關，讀者可自行查閱相關文獻。 3. 上述 Claim 一般又稱作 Auxiliary  Holder inequality. 以下我們給出 Claim 的證明。 Proof of the Claim: 首先做以下觀察：若 $a,b = 0$ 或任一為 $0$ 則不等式自動成立。故在不失一般性的情況下 我們設 $a \geq b >0$ 並且注意到 $a^{1-\theta} = a a^{-\theta}$ 故我們可改寫要證明的不等式如下 \begin{align*} \left(\frac{b}{a}\right)^\theta \leq (1-\theta) + \theta \frac{b}{a} \end{align*} 令 $x:=b/a$ 則 $x \in (0,1)$ 且我們僅需證明 \[ x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x \]令 $g(x):=  1-\theta +\theta x - x^\theta $，注意到 $g(1) = 0$ 且 $g(0) = 1-\theta>0$