謝宗翰的隨筆

考慮測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$ Theorem: 令 $\mu(X) <\infty$ 且 $f_n \to f$ a.e. 則 $f_n \to f$ in measure。 Proof: 不失一般性的情況下，假設 $f_n \to f$ everywhere。令 $\alpha > 0$ 我們要證明 \[ \lim_{n}\mu(x: |f_n(x) - f(x)| \geq \alpha ) = 0 \]因為 $f_n \to f$ everywhere (i.e., $f_n \to f$ pointwise) 由極限定義，我們知道給定任意 $\varepsilon >0$ 存在 $N:=N(x)>0$ 使得當 $n\geq N$， \[ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon \]這表明 \[ x \in \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\} \]且 \[ X:= \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\} \]故 \[ X^c = \emptyset  = \bigcap_N \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\} \]令 $E_N:= \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\} $ 且注意到 $E_N$ 對 $N$ 遞減，且 $\mu(X) <\infty$ 由 測度的 下連續性，我們有 \[ \underbrace{\mu(\cap_N E_N)}_{=\mu(\emptyset)=0} = \lim_N \mu(E_N) \]故我們得到 \[ \mu(E_N) = \mu(\bigcup_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}) \to \mu(\emptyset) = 0 \]將其換成較小的集合上述結果仍然成立，亦即 \[ \m