[測度論] 有限測度空間中，$f_n\to f$ a.e. $\Rightarrow f_n \to f$ in measure

考慮測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$
Theorem: 令 $\mu(X) <\infty$ 且 $f_n \to f$ a.e. 則 $f_n \to f$ in measure。
Proof:
不失一般性的情況下，假設 $f_n \to f$ everywhere。令 $\alpha > 0$ 我們要證明
\[
\lim_{n}\mu(x: |f_n(x) - f(x)| \geq \alpha ) = 0
\]因為 $f_n \to f$ everywhere (i.e., $f_n \to f$ pointwise) 由極限定義，我們知道給定任意 $\varepsilon >0$ 存在 $N:=N(x)>0$ 使得當 $n\geq N$，
\[
|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon
\]這表明
\[
x \in \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\}
\]且
\[
X:= \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\}
\]故
\[
X^c = \emptyset  = \bigcap_N \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}
\]令 $E_N:= \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\} $ 且注意到 $E_N$ 對 $N$ 遞減，且 $\mu(X) <\infty$ 由 測度的 下連續性，我們有
\[
\underbrace{\mu(\cap_N E_N)}_{=\mu(\emptyset)=0} = \lim_N \mu(E_N)
\]故我們得到
\[
\mu(E_N) = \mu(\bigcup_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}) \to \mu(\emptyset) = 0
\]將其換成較小的集合上述結果仍然成立，亦即
\[
\mu( \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}) \to  0
\]此表明 $f_n \to f$ in meausre。至此證明完畢。