[測度論] indicator function 為可測函數的充分必要條件

令 $(X,\mathcal{M})$ 與 $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ 為可測空間。

Fact: 令 $1_E: (X,\mathcal{M}) \to (\mathbb{R},\mathcal{L})$ 滿足
$$1_E(x):=\begin{cases}       1 & x \in E\\       0 & x \notin E    \end{cases}$$ 則 $1_E$ 為可測函數 若且唯若 $E \in \mathcal{M}$。

Proof:

$(\Leftarrow)$ 假設 $E \in \mathcal{M}$。我們要證明 $1_E$ 為可測函數。為此，令 $I:=(-\infty, \alpha]$ 為任意區間，我們僅需證明 $1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。若 $\alpha \leq 0$，則
$$1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x) < \alpha\}=\varnothing \in \mathcal{M}$$ 若 $\alpha >1$ 則
$$1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=X \in \mathcal{M}$$ 最後，若 $0<\alpha \leq 1$ 則
$$1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=E^c$$ 由於 $E\in \mathcal{M}$ 且 $\mathcal{M}$ 為 $\sigma$-algebra，故 $E^c \in \mathcal{M}$。至此我們得證 $1_E$ 為可測函數。

$(\Rightarrow)$ 假設 $1_E$ 為可測函數，我們要證明 $E \in \mathcal{M}$。由於 $1_E$ 為可測函數，對任意區間 $I=(-\infty,\alpha]$ 而言，$1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。故取 $\alpha =1/2$ 我們有
$$1_E^{-1}(I):=\{x:\chi_E(x)<1/2\} = E^c \in \mathcal{M}$$ 由於 $\cal M$為 $\sigma$-algebra，故 $E\in \mathcal{M}$。$\square$