[測度論] indicator function 為可測函數的充分必要條件

令 $(X,\mathcal{M})$ 與 $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ 為可測空間。

Fact: 令 $1_E: (X,\mathcal{M}) \to (\mathbb{R},\mathcal{L})$ 滿足
\[ 1_E(x):=\begin{cases}
      1 & x \in E\\
      0 & x \notin E
   \end{cases}
\]則 $1_E$ 為可測函數 若且唯若 $E \in \mathcal{M}$。

Proof:

$(\Leftarrow)$ 假設 $E \in \mathcal{M}$。我們要證明 $1_E$ 為可測函數。為此，令 $I:=(-\infty, \alpha]$ 為任意區間，我們僅需證明 $1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。若 $\alpha \leq 0$，則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x) < \alpha\}=\varnothing \in \mathcal{M}
$$ 若 $\alpha >1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=X \in \mathcal{M}
$$最後，若 $0<\alpha \leq 1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=E^c
$$ 由於 $E\in \mathcal{M}$ 且 $\mathcal{M}$ 為 $\sigma$-algebra，故 $E^c \in \mathcal{M}$。至此我們得證 $1_E$ 為可測函數。

$(\Rightarrow)$ 假設 $1_E$ 為可測函數，我們要證明 $E \in \mathcal{M}$。由於 $1_E$ 為可測函數，對任意區間 $I=(-\infty,\alpha]$ 而言，$1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。故取 $\alpha =1/2$ 我們有
$$
1_E^{-1}(I):=\{x:\chi_E(x)<1/2\} = E^c \in \mathcal{M}
$$由於 $\cal M $為 $\sigma$-algebra，故 $E\in \mathcal{M}$。$\square$

[測度論] 非遞減函數必定可測

Claim: 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 非遞減(nondecreasing)函數，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable 其中 $ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel $\sigma$-algebra

Proof:
令 $a\in \mathbb{R}$，並取開集 $E:= (a, \infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 。我們要證明 $f$ 可測，亦即要證明
\[
f^{-1}(E) = f^{-1}(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\} \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}
\]此等價證明 $f^{-1}(E)$ 為 $\mathbb{R}$ 上 interval 即可(因為所有 interval on $\mathbb{R}$ generates $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。故取 $c:= \inf f^{-1}(E)$ ，則我們僅需證明
\[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]  以下我們分兩種情況討論：
Case 1: 若 $c \in f^{-1}(E)$ ：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(c) > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]

Case 2: 若 $c \notin f^{-1}(E)$：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，必定存在 $y \in f^{-1}(E)$ 使得 $x > y \geq c $。由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(y)  > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]
由上述兩類情況總結可知 $f^{-1}(a,\infty) = (c, \infty) $ interval，故其必定為 Borel measurable 且 $f$ is Borel measurable。$\square$

[測度論] 連續函數必定可測

令 $X,Y$ 為 metric space，定義 $\mathcal{B}_X$ 與 $\mathcal{B}_Y$ 為其上的 Borel $\sigma$-algebra (generated by some open sets)。

Claim: $f:X \to Y$ 為連續函數 on $X$，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y)$-measurable。

Proof: 令 $E \in \mathcal{B}_Y$，我們要證明 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X $。注意到若 $E$ 為 任意 set generates $\mathcal{B}_Y$; e.g., $E$ be open set，則由連續函數性質可知 $f^{-1}(E)$ 亦為 open ，故 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X$。$\square$