[測度論] 非遞減函數必定可測

Claim: 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 非遞減(nondecreasing)函數，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable 其中 $ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel $\sigma$-algebra

Proof:
令 $a\in \mathbb{R}$，並取開集 $E:= (a, \infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 。我們要證明 $f$ 可測，亦即要證明
\[
f^{-1}(E) = f^{-1}(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\} \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}
\]此等價證明 $f^{-1}(E)$ 為 $\mathbb{R}$ 上 interval 即可(因為所有 interval on $\mathbb{R}$ generates $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。故取 $c:= \inf f^{-1}(E)$ ，則我們僅需證明
\[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]  以下我們分兩種情況討論：
Case 1: 若 $c \in f^{-1}(E)$ ：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(c) > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]

Case 2: 若 $c \notin f^{-1}(E)$：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，必定存在 $y \in f^{-1}(E)$ 使得 $x > y \geq c $。由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(y)  > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]
由上述兩類情況總結可知 $f^{-1}(a,\infty) = (c, \infty) $ interval，故其必定為 Borel measurable 且 $f$ is Borel measurable。$\square$

[凸分析] 任意遞增函數為 quasiconcave 與 quasiconvex

=============
Theorem:
令 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為遞增函數，則 $f$ 同時為 quasiconcave 與 quasiconvex。
=============

Proof:
考慮 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $\lambda \in (0,1)$，在不失一般性情況我們假設 $x>y$，則
\[
x > \lambda x + (1-\lambda)y > y
\]因為 $f$ 遞增，我們有
\[
f(x) > f( \lambda x + (1-\lambda)y) > f(y) \;\;\;\; (**)
\]由上述不等式，我們可寫
 $$
f(x) = \max\{f(x),f(y)\}
$$故由第一部分的不等式，我們有
\[
 \max\{f(x),f(y)\} > f( \lambda x + (1-\lambda)y)
\]此表明 $f$ 為 quasiconvex。

同理，由 $(**)$ 我們亦可寫下
\[
f(y) := \min\{f(x),f(y)\}
\]故由第二部分的不等式，我們有
\[
 f( \lambda x + (1-\lambda)y) >\min\{f(x),f(y)\}
\]此表明 $f$ 為 quasiconcave 至此證明完畢。$\square$

[微積分] 函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減?

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。

Theorem:
1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0
\]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0
\]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0
\]Proof: omitted.

Example 1:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x
\]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增
同理，可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減
同理，可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。


Example 2:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x +2
\]故可知當 $f'(x) =  2x +2 >0$ 亦即 $ x>-1$ 時候 (或者說在區間 $(-1,\infty)$) $f$ 為遞增
同理，可推知當 $f'(x) = 2x+2 < 0$ 亦即當 $x<-1$時候 (或者說在區間 $(-\infty,-1)$) $f$ 為遞減
同理，可推知當 $f'(x) = 2x +2 = 0$ 亦即當 $x=-1$時候 (或者說在 $-1$ 處) $f$ 為常數。

Comment:
上述例子讀者也許可能猜想當 出現一階導數為 $0$ 的時候，其函數的遞增/遞減會發生變化，但!! 此猜想並不為真! 下面我們看個例子：


Example 3: 
考慮  $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^3$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 3x^2
\]故可知當 $f'(x) =  3x^2 >0$ 亦即 $ x \in \mathbb{R}$ 時候 $f$ 為遞增 且 永不遞減!!
但是當 $f'(x) = 3x^2 = 0$ 亦即當 $x=0$時候 $f$ 為常數。

此例說明了儘管出現 $x=0$的時候 $f(x)$ 的導數為常數，但此時函數函數的遞增性質並不改變。


Example 4*:
令 $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ 且 $ f(x) = \sqrt{1=x^2}$ 試判斷區間的遞增遞減性質。

Solution
先對該函數求導，可得
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]現在觀察上述函數可知 $f'>0$ 當 $x \in (-1,0)$ 且 $f' <0$ 當 $x \in (0, 1)$ 亦即 $(-1,0)$ 此函數遞增，且 $(0,1)$ 此函數遞減。

剩下還有三點 $-1,0,1$ 為判斷遞增遞減性質，此三點的判定可透過前一篇文章我們曾討論過的拓展到端點的定理也就是說如果原函數在關心的端點上連續，則遞增/減性質可被直接拓展到該端點上，現在回到我們的問題可發現，原函數 $f$ 在 $-1$ 與 $0$ 與 $1$ 皆連續，故我們可拓展遞增遞減性質，也就是說 $f$ 在 $[-1,0]$ 遞增，$f$ 在 $[0,1]$ 遞減。

[微積分] 反函數

想法：給定任意函數 $f(x) = y$ 我們想問 是否可以將其改寫成 $x = g(y)$? 如果可以則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數(inverse function)

在介紹反函數之前，我們需要一些定義來幫助我們：

=========================
Definition: one-to-one function
一個函數 $f: X \to Y$ 稱作 one-to-one function 若下列條件成立：
對任意 $x,y \in X$ 我們有\[
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
\]=========================

Comment:
一般而言，one-to-one function 又稱作 injective function 中文譯作 單射函數 或者 一對一函數。


現在看幾個例子試試：

Example
試問 $f(x) = x^3$，$x \in \mathbb{R}$ 是否為 one-to-one?

Solution
給定任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ，且假設 $f(x) = f(y)$ 成立 我們要證明 $x=y$，故現在觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^3} = {y^3}
\end{array}\]對兩邊取三次方根，可得
\[
x = y. \,\,\,\, \square
\]

Example 
試證函數 $f(x) = x^2$，$x \in \mathbb{R}$ 並非 one-to-one function。

Solution
要證明不是 one-to-one，故對定義取非，要證明 存在一組 $x,y \in \mathbb{R}$ 使得 \[
f(x) = f(y) \; \text{ but} \;\; x \neq y
\]觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^2} = {y^2}\\
 \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0
\end{array}\]
故現在選 $x=a$，$y=-a$ ($a>0$為任意常數) ，比如說選 $x = 1$ 且 $y=-1$ 則可得 $f(x) = f(y)$ 但 $x \neq y$ 。$\square$


有了 one-to-one 函數之後我們現在可以介紹 反函數：

================
Definition: Inverse Function
令 $f : X \to Y$ 為 one-to-one 函數。則其反函數 $f^{-1} : B \to A$ 定義為：對任意 $y \in B$，
\[
f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y
\]================

================

FACT: 令函數 $f : X \to Y$ 且其反函數 $f^{-1}:Y \to X$ 存在則
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in X\\
f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in Y
\end{array}\]================

Example 3:
考慮某函數 $f$ 具有如下性質
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right.\]試問 $f^{-1}(5), f^{-1}(7), f^{-1}(-1)$ 為何?

Proof:
由前述反函數定義可知
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( 5 \right) = 1\\
{f^{ - 1}}\left( 7 \right) = 3\\
{f^{ - 1}}\left( { - 1} \right) = 8
\end{array} \right.\]

Example 4:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，試問 $f(x) = x^3 + 2$ 的反函數 $f^{-1}$ ?

Proof:
令 $y:= f(x)$，目標是要寫出反函數
\[\begin{array}{l}
f(x) = {x^3} + 2\\
 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]故反函數 $f^{-1}$ 為
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {{x^3} + 2} \right) = x\\
 \Rightarrow {f^{ - 1}}\left( y \right) = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]上式中 $y$ 為 dummy variable



Theorem: 令 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增函數，則 $f$ 為 one-to-one

Proof: 給定 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增 (亦即 $f(x_1) < f(x_2), \; \forall x_1<x_2$)，我們要證明 $f$ 為 one-to-one，故取 $x_1,x_2 \in X$ 且設 $f(x_1) = f(x_2)$ 我們要證明 $x_1 = x_2$。利用反證法，假設 $x_1 \neq x_2$，則不失一般性情況我們設 $x_1 > x_2$，則由嚴格單調性可知 \[
f(x_1) > f(x_2)
\]此條件違反我們前提 $f(x_1) = f(x_2)$，故得到矛盾。$\square$


Theorem (Corollary): $f: X \to Y$ 為單調遞增，則 $f$ 具有反函數。
Proof:  使用前述的定理與 FACT 即可證得。$\square$

[數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論

令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為函數，

Definition: 我們說 $f$ 為單調遞增 (Monotone increasing) 若下列條件成立：
若 $x_1 < x_2$ 則 $f(x_1) \le f(x_2)$
我們說 $f$ 為單調遞減 (Monotone decreasing) 若下列條件成立：
若 $x_1 > x_2$ 則 $f(x_1) \ge f(x_2)$

我們稱 $f$ 為 單調 (Monotone) 若 $f$ 為單調遞增 或 單調遞減。

以下我們看兩個經典的例子：

Example:
1. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = c$ 且  $c \in \mathbb{R}$ 則此常數函數 既為單調遞增 亦為 單調遞減。
2. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 並非單調遞增或單調遞減。
但注意到若我們修正絕對值函數的定義域，比如說 令 $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 成為 單調遞增 (讀者可自行證明此性質在此不贅述)。

以下我們給出幾個單調函數重要的結果：


===============
Fact:
1. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞增函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞增函數
2. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞減函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞減函數
===============

Proof: 
我們只證明 (1)， (2) 留給讀者作為練習。

現在要證明  $f+g$ 在 $I$ 上遞增，故由定義出發，令 $x_1,x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$，則由於 $f, g$ 在區間 $I$ 上遞增，故我們有
\[
f(x_1) \le f(x_2)
\]且
\[
g(x_1) \le g(x_2)
\]
現在我們觀察其和，可知
\[
f(x_1) + g(x_1) \le f(x_2) + g(x_2)
\]上述不等式表明 $f+g$ 在 $x_1$的取值 必定小於或等於 $f+g$ 在 $x_2$ 上的取值，也就是說
\[
(f+g)(x_1) \le (f+g)(x_2)\;\;\;\;\;\;\; \square
\]



===============
Theorem 1: 開區間遞增是否保證 加入端點之後仍為遞增？
令 $f$ 為在 $(a,b)$ 遞增 ，若 $f$ 在 $a$ 點連續，則 $f$ 在 $[a,b)$ 仍為遞增
同理，若 $f$ 在 $b$ 點連續，則 $f$ 在 $(a,b]$ 仍為遞增。
===============

Proof Sketch: 因為 $f$ 在 $a$ 點連續，其在該點極限值等於該點函數值 $f(a)$ 現在取 $x \in (a,b)$ 則 $x > a$ 其遞增性保證 $f(x) \ge f(a)$

===============
Theorem 2: 遞增函數保證左右極限存在
令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為單調函數，
1. 則 對任意 $t \in \mathbb{R}$ ，左極限 與 右極限 $f(t-)$ 與 $f(t+)$ 存在且有限，且 $f(\infty-)$ 與 $f(\infty+) $ 存在 。
2. 若 $f$ 為單調遞增，則 $f(t^-) \le f(t) \le f(t+)$
3. 若 $f$ 為單調遞減，則 $f(t^-) \ge f(t) \ge f(t^+)$
===============

Proof: omitted


Theorem 2:
考慮 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為單調函數，現令集合 $E \neq \emptyset$ 為 $f$ 在 ${\bf \mathbb{R}}$ 上 所有 不連續的點 所形成的集合，亦即
\[
E \doteq \{x \in \mathbb{R}: f \text{ is discontinuous at $x$}\}
\]則集合 $E$ 只有以下兩種可能
1. $E$ 為有限(finite)
2. $E$ 為可數無窮 (countably infinite)

Comments:
1. 我們說一個集合為 有限 表示此 集合所含有的元素個素為有限多個。另外我們說一個集合 $E$ 為 可數無窮 表示 存在一個 一對一映射的函數 $g: E \to \mathbb{N}$。
2. 我們說一個函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在 $t \in \mathbb{R}$ 點不連續若且唯若 其左右極限存在但與函數值不相等，亦即
\[
f(t^+) := \lim_{x \to t^+} f(x) \neq \lim_{x \to t^-} f(x) := f(t^-) \neq f(t)
\]

Proof:
注意到若 $f$ 為單調遞增，則 $-f$ 為單調遞減，但不連續的點個數相等，故我們可僅僅考慮 $f$ 為單調遞增的情形。

令
\[
E \doteq \{x \in \mathbb{R}: f \text{ is discontinuous at $x$}\} \neq \emptyset
\]我們要證明 (1) 與 (2) ，基本想法為由於 $f$ 取值為在實數軸 $\mathbb{R}$ 上，故由有理數在實數軸上的稠密性來試圖說明為何 (1) 與 (2) 成立。 亦即對任意 $x \in E $ 我們有 $f(x^-) < f(x^+)$且由於 $f$ 取值為在實數軸 $\mathbb{R}$ 上，故由稠密性可知 存在 $q_x \in \mathbb{Q}$ 使得
\[
f(x^-) < q_x < f(x^+)
\]
有了以上想法，我們現在利用 $f$ 單調遞增性質可知
\[
x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1^+) \le f(x_2^-)
\]故若 $x_1, x_2 \in E$ 且 $x_1 < x_2$ 則存在 $q_{x_1}, q_{x_2} \in \mathbb{Q}$ 使得
\[
q_{x_1} < q_{x_2}
\]用上述的構造 $q_{x_1}, q_{x_2}$ 我們得到以下結果：對任意 $x \in E$ 而言，存在彼此相異的有理數來表示 $x$ 且此表示為 1-1 對應。我們將所有對應的有理數收集起來建構以下集合
\[
\{q_x \in \mathbb{Q}: x \in E\}
\]則因為 $q_x \in \mathbb{Q}$ 為有理數 故此集合內元素的個素 必定為有限多 或者 可數無限多個。$\square$

[數學分析] 函數的 不連續性

令函數 $f: X \to Y$ 且 $x \in X$ 為其 domain 中一點 使得 $f$ 在該點不連續。則我們稱 函數$f$ 在此點 $x$ 不連續 ($f$ is discontinuous at $x$)。 比如說，我們看下圖，可發現該函數在 $x_0$ 處不連續 (函數圖形在 $x_0$點發生不連續， but 左右極限相等)

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%82%B9#mediaviewer/File:Discontinuity_removable.eps.png


一般而言如果 $f$ 是透過 "分段"定義，都會有不連續問題存在。不過在此之前我們需要一些先導觀念幫助我們：亦即所謂的 左極限 (left-limits of $f$ at $x$, $f(x-)$) 與 右極限 (right-limits of $f$ at $x$, $f(x+)$)

===================
Definition: Right-Limit 
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上 ，考慮任意點 $x$ 使得 $a \le x < b$，我們說 $f$在 $x$ 點處 右極限存在 (記做 $f(x+) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (x,b)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$

Definition: Left-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，考慮任意點 $x$ 使得 $a < x \le b$，我們可寫  $f$在 $x$點左極限 存在 (記做 $f(x-) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (a,x)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
===================

Comments:
一般而言，常見的寫法還有
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \searrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ + }} f\left( t \right)\\
f(x - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \nearrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ - }} f\left( t \right)
\end{array} \right.\]

===================
FACT:
對任意 $ x \in (a,b)$， $\lim_{t \to x} f(t)$ 存在 若且為若
\[
f(x+ ) = f(x - ) = \lim_{t \to x} f(t)
\]===================
Proof: omitted.

Comment:
1. 上述 FACT 只保證 左右極限 相等 等價 極限存在，但並沒有 "任何" 對於 連續性的推論!! 簡而言之，某函數的極限在某點存在 (or 左右極限在某點存在且相等) 不保證 函數在該點連續!!。

2. [直覺] 連續函數可以容忍函數被某些點被 折彎，但不允許 折斷!! 如果一旦發生折斷即為不連續函數。



有了以上左右極限的觀念，我們可以開始討論 不連續性質：

===================
Definition: Classification of Discontinuity
令函數 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，若 $f$ 在點 $x$ 處不連續 且 若 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在，則我們稱 $f$ 為 simple discontinuity at $x$。(或稱 $f$ 有 discontinuity of the first kind。)
其餘的不連續則統稱為 discontinuity of the second kind
===================

Comments:
簡潔判斷 discontinuity of the first kind 的方法：檢驗其是否 左右極限存在


以下我們看幾個例子：

Example 1: First Kind Discontinuous Function
定義
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}rational} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}irrational} \right)
\end{array} \right.\]試證明 $f$ 為 discontinuity of the second kind。

Proof:
讀者應可判斷此函數 $f$ 已為不連續函數，剩下的只需判斷是 first kind 或者 second kind。 故選任意點 $x$，注意到對任意點而言，$f(x+)$ 與 $f(x-)$ 皆不存在!(會在 $0,1$ 之間震盪) 故不滿足 first kind 不連續性，我們可推知其必為 discontinuity of the second kind。$\square$

Example 2: First Kind Discontinuous Function
考慮
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 3 < x <  - 2} \right)\\
 - x - 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 2 \le x < 0} \right)\\
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {0 \le x < 1} \right)
\end{array} \right.\]則如果我們繪製出函數圖形可看出

直覺檢驗 (NOT PROOF)：可發現函數在 $x=0$處 發稱間斷! (不連續在此點產生)；另外此函數在 $x \in (-3,1)$ 處均為連續函數 (因為此函數只有被折但沒有發生 "折斷"。)$\square$


Example 3: Second Kind Discontinuous Function
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x \ne 0} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}\left( {x = 0} \right)
\end{array} \right.\]
則如果我們繪製出函數圖形可看出

可以發現在 $x=0$ 處，圖形劇烈震盪。若我們檢驗其 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 可知其皆不存在。故函數在 $x=0$處為 second kind discontinuous，但 除了 $x=0$以外其餘點皆連續 (因為 $ \sin (\cdot)$ 函數為連續函數)。$\square$

我們現在將不連續
以下我們看個結果：

Theorem:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在。亦即
\[\mathop {\sup }\limits_{a < t < x} f\left( t \right) = f\left( {x - } \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) = \mathop {\inf }\limits_{x < t < b} f\left( t \right)\]且若 $a < x < y < b$ 則
\[
f(x+) \le f(y-)
\]
Proof: omitted. see Rudin. Mathematical Analysis 3rd, Chapter 4.


Theorem: 令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則 $f$ 在 $(a,b)$ 中的不連續點 個數最多僅有 countably many。

Proof:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)且定義集合 $E$ 為所有 $(a,b)$區間上的點使 $f$ 不連續 所形成的集合
\[E: = \left\{ {x \in \left( {a,b} \right):f\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{is}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{discontinuous}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{at}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x} \right\}\]由 (前述 Theorem )可知 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在 且下列關係成立
\[f\left( {x - } \right) \le f\left( y \right) \le f\left( {x + } \right)\]

現在對任意 $x \in E$，由於 $f(x) $ 為實數函數，利用 實數稠密性質，我們可指派 有理數 $ r(x) $ 使得
\[f\left( {x - } \right) \le r\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) \ \ \ \ (*)
\]利用遞增性質 可知 $x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ 故再利用前述 Theorem 可知
\[\begin{array}{l}
{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\\
 \Rightarrow f({x_1} + ) \le f({x_2} - ) \ \ \ \ (**)
\end{array}\] 現在比較 $(*)$ 與 $(**)$ 可推知
\[{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow r\left( {{x_1}} \right) \ne r\left( {{x_2}} \right)\]上式表示我們建構了 集合 $E$ 與 $\mathbb{Q}$ 之間為 one-to-one (by definition)。故可知 $E$中 不連續點 最多 countably many 個。 $\square$