[微積分] 函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減?

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。

Theorem:
1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0
\]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0
\]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0
\]Proof: omitted.

Example 1:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x
\]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增
同理，可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減
同理，可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。


Example 2:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x +2
\]故可知當 $f'(x) =  2x +2 >0$ 亦即 $ x>-1$ 時候 (或者說在區間 $(-1,\infty)$) $f$ 為遞增
同理，可推知當 $f'(x) = 2x+2 < 0$ 亦即當 $x<-1$時候 (或者說在區間 $(-\infty,-1)$) $f$ 為遞減
同理，可推知當 $f'(x) = 2x +2 = 0$ 亦即當 $x=-1$時候 (或者說在 $-1$ 處) $f$ 為常數。

Comment:
上述例子讀者也許可能猜想當 出現一階導數為 $0$ 的時候，其函數的遞增/遞減會發生變化，但!! 此猜想並不為真! 下面我們看個例子：


Example 3: 
考慮  $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^3$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 3x^2
\]故可知當 $f'(x) =  3x^2 >0$ 亦即 $ x \in \mathbb{R}$ 時候 $f$ 為遞增 且 永不遞減!!
但是當 $f'(x) = 3x^2 = 0$ 亦即當 $x=0$時候 $f$ 為常數。

此例說明了儘管出現 $x=0$的時候 $f(x)$ 的導數為常數，但此時函數函數的遞增性質並不改變。


Example 4*:
令 $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ 且 $ f(x) = \sqrt{1=x^2}$ 試判斷區間的遞增遞減性質。

Solution
先對該函數求導，可得
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]現在觀察上述函數可知 $f'>0$ 當 $x \in (-1,0)$ 且 $f' <0$ 當 $x \in (0, 1)$ 亦即 $(-1,0)$ 此函數遞增，且 $(0,1)$ 此函數遞減。

剩下還有三點 $-1,0,1$ 為判斷遞增遞減性質，此三點的判定可透過前一篇文章我們曾討論過的拓展到端點的定理也就是說如果原函數在關心的端點上連續，則遞增/減性質可被直接拓展到該端點上，現在回到我們的問題可發現，原函數 $f$ 在 $-1$ 與 $0$ 與 $1$ 皆連續，故我們可拓展遞增遞減性質，也就是說 $f$ 在 $[-1,0]$ 遞增，$f$ 在 $[0,1]$ 遞減。