[微積分] 反函數

想法：給定任意函數 $f(x) = y$ 我們想問 是否可以將其改寫成 $x = g(y)$? 如果可以則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數(inverse function)

在介紹反函數之前，我們需要一些定義來幫助我們：

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Definition: one-to-one function
一個函數 $f: X \to Y$ 稱作 one-to-one function 若下列條件成立：
對任意 $x,y \in X$ 我們有\[
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
\]=========================

Comment:
一般而言，one-to-one function 又稱作 injective function 中文譯作 單射函數 或者 一對一函數。


現在看幾個例子試試：

Example
試問 $f(x) = x^3$，$x \in \mathbb{R}$ 是否為 one-to-one?

Solution
給定任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ，且假設 $f(x) = f(y)$ 成立 我們要證明 $x=y$，故現在觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^3} = {y^3}
\end{array}\]對兩邊取三次方根，可得
\[
x = y. \,\,\,\, \square
\]

Example 
試證函數 $f(x) = x^2$，$x \in \mathbb{R}$ 並非 one-to-one function。

Solution
要證明不是 one-to-one，故對定義取非，要證明 存在一組 $x,y \in \mathbb{R}$ 使得 \[
f(x) = f(y) \; \text{ but} \;\; x \neq y
\]觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^2} = {y^2}\\
 \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0
\end{array}\]
故現在選 $x=a$，$y=-a$ ($a>0$為任意常數) ，比如說選 $x = 1$ 且 $y=-1$ 則可得 $f(x) = f(y)$ 但 $x \neq y$ 。$\square$


有了 one-to-one 函數之後我們現在可以介紹 反函數：

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Definition: Inverse Function
令 $f : X \to Y$ 為 one-to-one 函數。則其反函數 $f^{-1} : B \to A$ 定義為：對任意 $y \in B$，
\[
f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y
\]================

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FACT: 令函數 $f : X \to Y$ 且其反函數 $f^{-1}:Y \to X$ 存在則
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in X\\
f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in Y
\end{array}\]================

Example 3:
考慮某函數 $f$ 具有如下性質
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right.\]試問 $f^{-1}(5), f^{-1}(7), f^{-1}(-1)$ 為何?

Proof:
由前述反函數定義可知
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( 5 \right) = 1\\
{f^{ - 1}}\left( 7 \right) = 3\\
{f^{ - 1}}\left( { - 1} \right) = 8
\end{array} \right.\]

Example 4:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，試問 $f(x) = x^3 + 2$ 的反函數 $f^{-1}$ ?

Proof:
令 $y:= f(x)$，目標是要寫出反函數
\[\begin{array}{l}
f(x) = {x^3} + 2\\
 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]故反函數 $f^{-1}$ 為
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {{x^3} + 2} \right) = x\\
 \Rightarrow {f^{ - 1}}\left( y \right) = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]上式中 $y$ 為 dummy variable



Theorem: 令 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增函數，則 $f$ 為 one-to-one

Proof: 給定 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增 (亦即 $f(x_1) < f(x_2), \; \forall x_1<x_2$)，我們要證明 $f$ 為 one-to-one，故取 $x_1,x_2 \in X$ 且設 $f(x_1) = f(x_2)$ 我們要證明 $x_1 = x_2$。利用反證法，假設 $x_1 \neq x_2$，則不失一般性情況我們設 $x_1 > x_2$，則由嚴格單調性可知 \[
f(x_1) > f(x_2)
\]此條件違反我們前提 $f(x_1) = f(x_2)$，故得到矛盾。$\square$


Theorem (Corollary): $f: X \to Y$ 為單調遞增，則 $f$ 具有反函數。
Proof:  使用前述的定理與 FACT 即可證得。$\square$