[測度論] 非遞減函數必定可測

Claim: 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 非遞減(nondecreasing)函數，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable 其中 $ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel $\sigma$-algebra

Proof:
令 $a\in \mathbb{R}$，並取開集 $E:= (a, \infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 。我們要證明 $f$ 可測，亦即要證明
\[
f^{-1}(E) = f^{-1}(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\} \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}
\]此等價證明 $f^{-1}(E)$ 為 $\mathbb{R}$ 上 interval 即可(因為所有 interval on $\mathbb{R}$ generates $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。故取 $c:= \inf f^{-1}(E)$ ，則我們僅需證明
\[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]  以下我們分兩種情況討論：
Case 1: 若 $c \in f^{-1}(E)$ ：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(c) > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]

Case 2: 若 $c \notin f^{-1}(E)$：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，必定存在 $y \in f^{-1}(E)$ 使得 $x > y \geq c $。由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(y)  > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]
由上述兩類情況總結可知 $f^{-1}(a,\infty) = (c, \infty) $ interval，故其必定為 Borel measurable 且 $f$ is Borel measurable。$\square$