[數學分析] MVT應用：$\sin(x)$ 上界為 $x$

回憶我們在微積分或者高等微積分中，對於連續且可導函數的一個重要結果：均值定理。

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均值定理 (Mean Value Theorem, MVT):
若函數 $f$ 在 閉區間 $[a,b]$ 連續  且 在開區間 $(a,b)$ 上可導，則存在 $c \in (a,b)$ 使得
\[
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
\]================

現在我們來看一個 MVT 很棒的應用，可以幫助我們找到 $\sin(x)$ 除了 $1$ 以外 稍微更細緻的上界 ($ x $ 夠小的時候)。

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FACT: 若 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x \geq 0$ 則 $\sin(x) \leq x$。
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Proof: 以下我們分幾個 case討論：
CASE 1: 首先觀察當 $x = 0$，則 $\sin(0)  = 0 \leq 0$ 自動成立。

CASE 2: 當 $0 < x < 1$ ，令 $f(t) := \sin(t)$ 則對任意 $t \in \mathbb{R}$， $f$ 為 連續且可導，故 $f$ 在 $(0,x)$ 區間亦為可導。由 MCT 可知 存在 $c \in (0,x)$ 我們有
\[
f(x) - f(0) = f'(c) (b-a) \Rightarrow \sin(x) - 0 =  \cos(c) x
\]換言之，我們有
\[
\cos(c) x = \sin(x)
\]由於 $|\cos(.)| \leq 1$ 故 $\sin(x) \leq x$。

CASE 3: 最後我們考慮 $x \geq 1$ 情況，由於 $|\sin(x)| \leq 1$ 故 當 $x\geq 1$ 時，
\[
\sin(x) \leq x
\]自動成立。至此得證。$\square$


Remarks:
上述結果可以進一步推廣，亦即我們不需要假設 $x$ 為非負：對任意 $x \in \mathbb{R}$，
\[
|\sin(x)| \leq |x|
\]證明雷同在此不做贅述。讀者可以試著證明看看。