[數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論

令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為函數，

Definition: 我們說 $f$ 為單調遞增 (Monotone increasing) 若下列條件成立：
若 $x_1 < x_2$ 則 $f(x_1) \le f(x_2)$
我們說 $f$ 為單調遞減 (Monotone decreasing) 若下列條件成立：
若 $x_1 > x_2$ 則 $f(x_1) \ge f(x_2)$

我們稱 $f$ 為 單調 (Monotone) 若 $f$ 為單調遞增 或 單調遞減。

以下我們看兩個經典的例子：

Example:
1. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = c$ 且  $c \in \mathbb{R}$ 則此常數函數 既為單調遞增 亦為 單調遞減。
2. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 並非單調遞增或單調遞減。
但注意到若我們修正絕對值函數的定義域，比如說 令 $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 成為 單調遞增 (讀者可自行證明此性質在此不贅述)。

以下我們給出幾個單調函數重要的結果：


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Fact:
1. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞增函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞增函數
2. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞減函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞減函數
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Proof: 
我們只證明 (1)， (2) 留給讀者作為練習。

現在要證明  $f+g$ 在 $I$ 上遞增，故由定義出發，令 $x_1,x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$，則由於 $f, g$ 在區間 $I$ 上遞增，故我們有
\[
f(x_1) \le f(x_2)
\]且
\[
g(x_1) \le g(x_2)
\]
現在我們觀察其和，可知
\[
f(x_1) + g(x_1) \le f(x_2) + g(x_2)
\]上述不等式表明 $f+g$ 在 $x_1$的取值 必定小於或等於 $f+g$ 在 $x_2$ 上的取值，也就是說
\[
(f+g)(x_1) \le (f+g)(x_2)\;\;\;\;\;\;\; \square
\]



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Theorem 1: 開區間遞增是否保證 加入端點之後仍為遞增？
令 $f$ 為在 $(a,b)$ 遞增 ，若 $f$ 在 $a$ 點連續，則 $f$ 在 $[a,b)$ 仍為遞增
同理，若 $f$ 在 $b$ 點連續，則 $f$ 在 $(a,b]$ 仍為遞增。
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Proof Sketch: 因為 $f$ 在 $a$ 點連續，其在該點極限值等於該點函數值 $f(a)$ 現在取 $x \in (a,b)$ 則 $x > a$ 其遞增性保證 $f(x) \ge f(a)$

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Theorem 2: 遞增函數保證左右極限存在
令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為單調函數，
1. 則 對任意 $t \in \mathbb{R}$ ，左極限 與 右極限 $f(t-)$ 與 $f(t+)$ 存在且有限，且 $f(\infty-)$ 與 $f(\infty+) $ 存在 。
2. 若 $f$ 為單調遞增，則 $f(t^-) \le f(t) \le f(t+)$
3. 若 $f$ 為單調遞減，則 $f(t^-) \ge f(t) \ge f(t^+)$
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Proof: omitted


Theorem 2:
考慮 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為單調函數，現令集合 $E \neq \emptyset$ 為 $f$ 在 ${\bf \mathbb{R}}$ 上 所有 不連續的點 所形成的集合，亦即
\[
E \doteq \{x \in \mathbb{R}: f \text{ is discontinuous at $x$}\}
\]則集合 $E$ 只有以下兩種可能
1. $E$ 為有限(finite)
2. $E$ 為可數無窮 (countably infinite)

Comments:
1. 我們說一個集合為 有限 表示此 集合所含有的元素個素為有限多個。另外我們說一個集合 $E$ 為 可數無窮 表示 存在一個 一對一映射的函數 $g: E \to \mathbb{N}$。
2. 我們說一個函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在 $t \in \mathbb{R}$ 點不連續若且唯若 其左右極限存在但與函數值不相等，亦即
\[
f(t^+) := \lim_{x \to t^+} f(x) \neq \lim_{x \to t^-} f(x) := f(t^-) \neq f(t)
\]

Proof:
注意到若 $f$ 為單調遞增，則 $-f$ 為單調遞減，但不連續的點個數相等，故我們可僅僅考慮 $f$ 為單調遞增的情形。

令
\[
E \doteq \{x \in \mathbb{R}: f \text{ is discontinuous at $x$}\} \neq \emptyset
\]我們要證明 (1) 與 (2) ，基本想法為由於 $f$ 取值為在實數軸 $\mathbb{R}$ 上，故由有理數在實數軸上的稠密性來試圖說明為何 (1) 與 (2) 成立。 亦即對任意 $x \in E $ 我們有 $f(x^-) < f(x^+)$且由於 $f$ 取值為在實數軸 $\mathbb{R}$ 上，故由稠密性可知 存在 $q_x \in \mathbb{Q}$ 使得
\[
f(x^-) < q_x < f(x^+)
\]
有了以上想法，我們現在利用 $f$ 單調遞增性質可知
\[
x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1^+) \le f(x_2^-)
\]故若 $x_1, x_2 \in E$ 且 $x_1 < x_2$ 則存在 $q_{x_1}, q_{x_2} \in \mathbb{Q}$ 使得
\[
q_{x_1} < q_{x_2}
\]用上述的構造 $q_{x_1}, q_{x_2}$ 我們得到以下結果：對任意 $x \in E$ 而言，存在彼此相異的有理數來表示 $x$ 且此表示為 1-1 對應。我們將所有對應的有理數收集起來建構以下集合
\[
\{q_x \in \mathbb{Q}: x \in E\}
\]則因為 $q_x \in \mathbb{Q}$ 為有理數 故此集合內元素的個素 必定為有限多 或者 可數無限多個。$\square$