[測度論] 連續函數必定可測

令 $X,Y$ 為 metric space，定義 $\mathcal{B}_X$ 與 $\mathcal{B}_Y$ 為其上的 Borel $\sigma$-algebra (generated by some open sets)。

Claim: $f:X \to Y$ 為連續函數 on $X$，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y)$-measurable。

Proof: 令 $E \in \mathcal{B}_Y$，我們要證明 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X $。注意到若 $E$ 為 任意 set generates $\mathcal{B}_Y$; e.g., $E$ be open set，則由連續函數性質可知 $f^{-1}(E)$ 亦為 open ，故 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X$。$\square$