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[測度論] DCT 應用 (2) - Simple Fubini-Tonollei Theorem

Theorem:
假設 $\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$。則
(a) $\sum_{n=1}^\infty f_n$ almost everywhere 收斂 。
(b) $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。

Proof:(a) 令$\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$,則我們有
\[
\int \sum_{n=1}^\infty |f_n| = \sum_{n=1}^\infty\int |f_n|   <\infty
\]故我們知道 $ \sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^\infty |f_n|<\infty$ almost everywhere。此表明對 almost every $x$, $\sum_{n=1}^\infty f_n(x) $ (絕對)收斂。令極限
$$ f(x):=\lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^N f_n(x) $$ 故我們僅需證明此 $f \in L^1$。注意到 對任意 $N$, $\lim_N \sum_{n=1}^N f_n \leq \lim_N \sum_{n=1}^\infty |f_n|$ a.e. 故 $f \leq \lim_N \sum_{n=1}^N |f_n|$ a.e. 由於 $\lim_N \sum_{n=1}^N |f_n| \in L^1$ 故 $f \in L^1$。

Proof (b)
要證明 $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。首先觀察
\[
 \int \sum_{n=1}^N f_n = \sum_{n=1}^N \int  f_n \;\;\;\; (*)
\]由於 $\sum_{n=1}^N f_n \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^N f_n \to f$ a.e. in $L^1$ ,由 Dominated Convergence Theorem 我們有\[
\lim_{N\to \infty} \int \sum_{n=1}^N f_n =  \int \lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^N f_n = \int \sum_{n=1}^\infty f_n\;\;\;\; (**)
\]故對 $(*)$兩邊同取極限並利用上述結果 $(**)$ 可得
\[
\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n
\]至此證明完畢。$\square$




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3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

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