[測度論] DCT 應用 (2) - Simple Fubini-Tonollei Theorem

Theorem:
假設 $\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$。則
(a) $\sum_{n=1}^\infty f_n$ almost everywhere 收斂 。
(b) $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。

Proof:(a) 令$\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$，則我們有
$$\int \sum_{n=1}^\infty |f_n| = \sum_{n=1}^\infty\int |f_n|   <\infty$$ 故我們知道 $\sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^\infty |f_n|<\infty$ almost everywhere。此表明對 almost every $x$， $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ (絕對)收斂。令極限
$$f(x):=\lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^N f_n(x)$$ 故我們僅需證明此 $f \in L^1$。注意到 對任意 $N$， $\lim_N \sum_{n=1}^N f_n \leq \lim_N \sum_{n=1}^\infty |f_n|$ a.e. 故 $f \leq \lim_N \sum_{n=1}^N |f_n|$ a.e. 由於 $\lim_N \sum_{n=1}^N |f_n| \in L^1$ 故 $f \in L^1$。

Proof (b)
要證明 $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。首先觀察
$$\int \sum_{n=1}^N f_n = \sum_{n=1}^N \int  f_n \;\;\;\; (*)$$ 由於 $\sum_{n=1}^N f_n \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^N f_n \to f$ a.e. in $L^1$ ，由 Dominated Convergence Theorem 我們有 $$\lim_{N\to \infty} \int \sum_{n=1}^N f_n =  \int \lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^N f_n = \int \sum_{n=1}^\infty f_n\;\;\;\; (**)$$ 故對 $(*)$兩邊同取極限並利用上述結果 $(**)$ 可得
$$\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$$ 至此證明完畢。$\square$