$$
d(x,y):=|x-y|
$$ 若 現在考慮 $x,y \in \mathbb{R}^2$ 則此兩點 $x:=(x_1,x_2),y:=(y_1,y_2)$ 間的距離 $d(x,y)$ 可用 $$
d(x,y): = {\left( {{{\left| {{x_2} - {x_1}} \right|}^2} + {{\left| {{y_2} - {y_1}} \right|}^2}} \right)^{1/2}}
$$ 表示。事實上，我們可將上述距離定義 逐步可以推廣到 $n$ 維空間甚至到更廣泛的空間。
但若我們考慮任意維度 (包含無窮維)，則上述定義失效。此時我們需要考慮進一步 距離推廣，我們把此推廣稱作 metric。
Comment:
1. 注意到上述的距離函數 $d$ 並不是唯一，還有許許多多不同的距離函數可以定義只要其滿足 metric function 的公理，讀者可參閱以下定義。
2. 一但有了距離的概念，我們才可以開始定義所謂的極限，進而更進一步討論其他(我們感興趣的)性質。而一個集合 且我們能在其上定義 metric 則稱為此集合形成 Metric Space
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Definition: Metric Space
令 $X$ 為集合。我們稱 $(X,d)$ 為 Metric Space 若下列條件成立：
考慮集合 $X$ 中任意兩點 $p,q$ 並定義兩點 $p,q$的距離函數 (metric) $d: X \times X \to \mathbb{R}$ 使得此 距離函數 滿足
1. $d(p,q) \geq 0$
2. $p =q$ 若且唯若 $d(p,q) =0$
3. $d(p,q) = d(q,p)$
4. 對任意 $r \in X$，$d(p,q) \le d(p,r) + d(r,q)$
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Comments
1. $\mathbb{R}^k$ Euclidean 空間 為 Metric Space 其中 metric 定義為對 ${\bf x,y} \in \mathbb{R}^k$
\[
d({\bf x,y}) := |{\bf x-y}|
\]2. 任意 Subset $Y \subset X$ 亦為 metric space。
3. 讀者或許會問 metric space 與我們在線性代數或者泛函分析中的 vector space 之間是否有無直接的從屬關係。事實上 Metric Space 不一定是 Vector space， 因為 metric space 由前述定義，只有定義距離 $d(\cdot,\cdot)$，但其並無定義 純量乘法 與 向量加法 。同理，Vector space 不一定是 metric space 因為 vector space 並無要求需要定義距離 metric 。
下面我們給出一些 Topology 的重要概念
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Definition: Neighborhood, Limit Point, Closed Set, Interior Point, Open Set, Perfect Set, Bounded Set,
令 $X$ 為一個 Metric Space。下列定義提及的點 points 與集合 sets 為此 Metric Space $X$ 的元素 或者 子集合。
一個點 $p$ 的鄰域 Neighborhood 為一個 集合，我們將其記做 $N_r(p)$ 且定義為
\[
N_r(p) := \{q \in X| d(p,q) <r \}
\]
考慮集合 $E \subset X$，則其中一個點 $p \in E$ 稱作 limit point of $E$ 若下列條件成立:
對任意鄰域 $N_r(p)$，存在點 $q \neq p$ 使得 $q \in N_r(p)\cap E$
集合 $E$ 稱作 closed set 若下列條件成立:
若所有的 limit point of $E$ 都在集合 $E$ 中。 (亦即 $E$ 若包含所有的limit point 我們便稱 $E$ 為 closed set)
一個點 $p$ 稱作 interior point of $E$ 若下列條件成立:
若存在 $r >0$ 使得鄰域 $N_r(p) \subset E$
集合 $E$ 稱作 open set 若下列條件成立:
若任意點 $p \in E$ 都為 interior point of $E$
集合 $E$ 稱作 perfect set 若下列條件成立:
若 $E$ 為 closed 且 $E$ 中所有的點 皆為 limit point of $E$
集合 $E$ 為 bounded 若下列條件成立:
存在一實數 $M$ 與 一點 $q \in X$ 使得 對任意 $p \in E$, $d(p,q) < M$
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接著看個重要的結果，下面的定理體現了數學分析的基本概念，也就是層層剝開定義，逐步求證。
================================Theorem:
任意 鄰域 (Neighborhood) 皆為 open set。
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Proof
給定 $N_r(p) := \{q \in X| d(p,q) <r \}$ 為任意鄰域，欲證 $N_r(p)$ 為 open。
現由 open set 定義，我們需要證明 對任意點 $x \in N_r(p)$ 皆為 interior point of $N_r(p)$
故給定 $x \in N_r(p)$，要證 $x$ 為 interior point of $N_r(p)$
故再由 interior point 定義可知，我們要證明
存在一個 $N_R(x)$ 使得 $N_R(x) \subset N_r(p)$
由於 $x \in N_r(p)$，我們可知 $d(x,p)<r$，故此暗示了存在一個常數 $h$ 使得
\[
d(x,p) = r-h
\] 接著我們要找出 $N_R(x)$ 使得 $N_R(x) \subset N_r(p)$ 成立。
現令任意點 $q \in N_R(x) $ 則 我們由定義可知 $\ d(q,x) < R$，由於 $N_R(x)$ 必須要使 $N_R(x) \subset N_r(p)$ 成立，亦即 $d(q,p) < r$ 必須成立，故我們觀察 $d(p,q)$ 由 Metric 定義可知
\[d\left( {q,p} \right) \le d\left( {q,x} \right) + d\left( {x,p} \right) < R + r - h\]
現令 $R = h $ 則我們有
\[\begin{array}{l}
d\left( {q,p} \right) \le d\left( {q,x} \right) + d\left( {x,p} \right) < R + r - h = r\\
\Rightarrow d\left( {q,p} \right) < r \ \ \ \ \square
\end{array}
\]
Comments:
1. 並非任意集合都具備內點，比如僅由單點所構成的集合 e.g., $S:=\{1\}$ 。
2. 空集合為 open set 因其 interior 亦為 open 。
Example:
以下幾個簡單的例子請讀者自行驗證：給定 $z_0 \in \mathbb{C}$
1. 集合 \[
B_r(z_0):= \{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| < r\}
\]與
\[
B_r(z_0):= \{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| > r\}
\] 為 open
2. 集合 \[
B_r(z_0):= \{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| \leq r\}
\]與
\[
B_r(z_0):= \{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| = r\}
\] 為 closed 。
3. 給定 $z_0 \in \mathbb{C}$，\[
B_r(z_0):= \{z \in \mathbb{C}: |z-z_0| < r\}\bigcup \{z\in \mathbb{C}: |z-z_0|=r, im(z-z_0)>0\}
\]不為 open 亦不為 close
Definition: Compactness
我們說一個集合 $K$ on metric space $(X,d)$ 為 compact 若下列條件成立：
對任意 open covers $G_\alpha$ (;i.e., $G_\alpha \subset X$ 為 open 且 $K \subset \cup_\alpha G_\alpha$) 而言，存在 有限個 subcovers 蓋住 $K$。
FACT: 若集合 $E \subset \mathbb{R}^n$，下列敘述等價：
1. $E$ 為 compact
2. $E$ 為 closed 且 bounded
3. 任意 $E$ 中的 無窮子集 都有 limit point in $E$。
