11/22/2013

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process

首先給出 計數過程( Counting Process )的定義如下

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Definition: Counting Process
我們說一個 計數過程 $\{N_t, t \geq 0\}$ 是一個從時間 $0$ 到現在時間 $t$ 計算某事物發生次數的 隨機過程
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注意定義中所指的事物可以想成表示為任何可以計數的事,其在 時間 從 $0$ 到 $t$ 發生的次數 我們把他叫做 $N_t$ (你也許會問,為何要叫 $N_t$ 其實很簡單就是英文 Number 的縮寫

舉例來說,我們可以把 $N_t$ 想成某網站從開站至今的點擊次數;或者汽車通過收費站的次數

好了,這個定義其實不是很直覺,我們來看張 計數過程 示意圖也許會清楚一點

上圖中橫軸是時間 $t$,縱軸是某事件發生到該時間的(累計)次數 $N_t$, 觀察上圖,我們可以發現一些現象
  1. 階梯狀的計數,表示次數逐漸增加(每計數一次就 $+1$)
  2. 時間 $T_i$是隨機的,也就是 計數過程 隨機的部分是在於我們不知道某事件到底會在什麼時候發生
  3. 計數過程 是右連續(簡單說就是 上圖對任易計數的右方逼近可以得到實黑點EX: 在時間 $T_2$ 計數為 $2$ 不是 $1$)

Comments
1. 現在假設 給定我們關心的計數時間為 $0 \leq t_1 \leq t_2 < \infty $ (也就是說我們不考慮無窮久的情況),然後我們想要知道在時間 $t_1$ 與 $t_2$ 之間,我們所關心的某事物(比如網站點擊率)發生的次數有多少。那麼我們該如何計算呢?

由前方定義我們知道 $N_{t_2}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_2$ 發生的次數
同樣的, $N_{t_1}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_1$ 發生的次數

所以如果我們把 $N_{t_2}$ 與 $N_{t_1}$ 相減,也就是 $N_{t_2} - N_{t_1}$,那我們得到的就是 在時間從 $t_1$ 到 $t_2$ 的發生次數 (看圖)

2. 我們把 $N_{t_2} - N_{t_1}$ 叫做 計數過程的 增量(increment)


[延伸閱讀]
[數學] 隨機過程淺淺談(0)-先備概念
[數學] 隨機過程淺淺談(II) - 波松過程Poisson process
[數學] 隨機過程淺淺談(III) - 布朗運動 or 維納過程 (Brownian motion or Wiener Process)

[Ref: J. A. Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge, 2006]

11/20/2013

[整理] 金融名詞-證卷市場

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th  的一些專有名詞

公司如何發行證卷?

  • 首次公開募股(Initial Public Offering, IPO)
  • 增發(再次發行)


1. 一級市場 (Primary markets)
用於發行新證卷的市場,通常由 投資銀行(investment banker) 進行證卷發行
-IPO 與 增發 皆在此市場完成

2. 二級市場 (Secondary markets)
投資人買進/賣出已發行之證卷所在的市場稱為二級市場 (investor trading issued securities, after IPO, for already-existing securities)
-corporation sell stock in primary stocks, while investors buy stock from other investors in the secondary market

3. 承銷商 (underwriter)
從發行公司處購買證卷並將證卷再次販售出去的公司

下圖顯示了在證卷發行過程中,發行公司、主要承銷商、與公眾之間的關係


4. 募股說明書(Prospectus)
對公司及其發行股票的描述,須由證卷交易委員會(SEC)批准

5. 私募(Private placement)
不公開的首次發行,公司股票直接被出售給一小部分的機構或者富有的投資者。

6. 首次公開募股IPO (the first time a company sells stock to public)
-SEO (seasoned equity offering, an issuance of stock has already undergone an IPO)

交易市場的種類

  • 直接交易市場(Direct search markets): ex: used car, used refrigerator, rare coins
  • 經紀人市場(Brokered markets):ex: real estate, primary market, block trading (the developing country use this market)
  • 交易商市場(Dealer markets)ex: bonds trade in OTC market, used car, rare coins
  • 競價拍賣市場(Auction markets)



7. 交易商市場(Dealer markets)
在該市場中交易商專注於某種特殊資產,並用自己的帳戶買賣該種資產
-交易商購買(bid)價格 與 出售(ask)價格的價差(Bid-Ask spread)是其利潤來源
-Ask price (you buy, dealer sale)
-Bid price (you sell, dealer buy)
-Bid-Ask spread: Ask-bid的價差
-Percentage spread:
\[
Percentage \ spread := \frac{Ask-Bid}{(Bid+Ask)/2}
\] -EX: 場外交易OTC


8. 競價拍賣市場 (Auction market): 
所有交易者聚集在一處進行資產買賣的市場
-鄭和最好的證卷交易市場
(ex: NYSE, OTC dealer market, 2nd market stock exchang)

交易指令的類型

  • 市場指令(Market orders)
  • 價格附帶執行指令(Price-contingent orders)
    • 限定價格購買(賣出)指令(limit buy (sell) order)
    • 止損指令(stop order)

9. 市場指令(Market order)
立即以當前的市場價格執行買入或者賣出的指令
-無執行的不確定性但有報價價格的不確定性。

9. 止損指令(Stop order)
在股價達到限定水平之後才會執行的指令


交易機制

  • 交易商市場網路(場外交易市場)
  • 電子通信網路
  • 專家經紀商市場網路

10.場外交易市場(Over the counter, OTC)
由經紀商與交易商組成的非正式網路,該市場的交易價格由此兩者協商。

11. 電子通信網路ECNs
允許直接交易而無須經由造市商的電子交易網路
-High-frequency trading

12. 專家經紀商 (Specialist)
為一家或以上的公司股票做市的交易商,並透過自買自賣維持公平而有效的市場

美國證卷市場

  • 那斯達克證券市場(Nasdaq Stock Market, NASDAQ) (www.nasdaq.com)
  • 紐約證券交易所 (New York Stock Exchange, NYSE) (www.nyse.com)
  • 美國證券交易所 (American Stock Exchange, AMEX) (www.amex.com)

13. 股票證卷交易所 (Stock exchanges)
為一種二級市場,其會員之間 在此交易已經發行的證卷。

14. 網路延遲(latency)
-low latency = low delay.

新的交易策略

  • 演算法交易策略(Algorithmic trading):
    透過電腦程式的幫助來達成快速交易決策
    • 高頻率交易策略(High-frequency trading): 演算法交易策略的一種,但依賴電腦做出非常快速的交易決策
  • 大宗匿名交易(Dark Pools)
    • 大宗交易(Blocks): 大量交易(一般而言超過一萬股的買賣)
    • 大宗匿名交易(Dark Pools): 
  • 債卷交易

保證金信用購買

15. 保證金信用購買 (Buy on Margin)
通過部分從經紀商借款的方式來購買證卷,保證金為投資人帳戶的淨值。
\[
Margin_{buy} := \frac{ \text{ Equity in account }}{ \text{Value of  stock} }
\]

賣空

16. 賣空(short sale)
投資人出售從經濟商借來的證卷 (投資人自己本身沒有證卷),之後在從市場上購買並還清借來的證卷 (非現金)
-此法用於預期股票即將下跌,故可以用一個較低的方式來購入原先以較高價格賣掉的股票並將其還給經紀商,從中取得利潤
-常與 stop buy 指令合併使用
\[
Margin_{short} := \frac{\text{Equity  in  account}}{\text{Value of  shares owed (debt)}}
\]

NOTE: 在金融市場中,shorting = selling = writing 三者等價。指賣出

[Claude] 國小數學加減乘除法計算小遊戲:數學怪獸大亂鬥

心血來潮用 Anthropic Claude Opus 4.6 做的簡單國小數學乘除法計算小遊戲,感嘆AI工具之強大與便利。原本可能要耗時幾天的工作轉眼就完成,時代的巨輪確實在飛速轉動。  數學怪獸大亂鬥(Math Monster Brawl)對戰的國小數學 加減乘除 小遊戲連結...