[隨機過程] 隨機過程淺淺談(III) - Brownian motion (or Wiener Process)

這次要介紹的是 隨機過程中一個極為重要的過程，稱作

布朗運動(Brownian motion) or 維納過程(Wiener process)

介紹定義之前先看一下 布朗運動 長什麼樣子

上圖黑線部分即為布朗運動的實現 (Realization)；或稱 sample path。

可以發現

1. Brownian motion 的 sample path 非常不規則(very wiggly)，(此不規則性質將導致對任意一處都無法微分)
2. Brownian motion 隨著時間增大的時候，其散開程度 (之後會用 variance 描述) 越明顯

有了上述直覺之後我們看定義會比較清楚。

以下是 Brownian motion 的定義

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Definition: (Standard Brownian Motion or Wiener Process)

一個實數連續時間的隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個標準布朗運動(Standard Brownian Motion)，如果其滿足下列四個性質：

(1) $B_0 =0$ almost surely (亦即： 機率 $P(\{B_0 =0\}) =1$)

(2) 考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 互為分離(disjoint)的區間，則其對應的增量增量彼此獨立；亦即對任意 $0=t_0 < t_1 < ... < t_n$，隨機變數

$$\{ B_{t_1} - B_{t_0}, B_{t_2} - B_{t_1}, ..., B_{t_n} - B_{t_{n-1}} \text{are independent}\}$$ (3) 布朗運動的增量服從高斯分佈；亦即$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

(4) 對 almost every $\omega$ 而言，$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續；亦即
$$P(\{ \omega \in \Omega: B_t(\omega) \text{ is a continuous function of $t$}\}) =1$$
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Comments:
1. 注意到性質 (4)，布朗運動為"連續"函數，(但處處不可微分；此性質會在之後再作介紹。)
2. 若性質(3) 改為 布朗運動的增量服從高斯分佈；亦即
$$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$$ 我們稱此為 Brownian motion (不再是 "standard" Brownian motion)，也就是說 $\sigma =1$ 稱為 standard Brownian motion

3. 由於性質(3)，布朗運動增量服從高斯分佈，故另外布朗運動還有一個等價定義，
4. 上述 Brownian motion 可透過 MATLAB 進行模擬，有興趣的讀者我們將 MATLAB 程式碼給出如下：

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Definition: (Standard Brownian Motion is a Gaussian Process)

一個實數連續時間的標準布朗運動隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個
mean 為 $E[B_t]=0$ 且 covariance 為 $E[B_s B_t] = s \wedge t$ 的高斯過程(Gaussian Process)

且對 almost every $\omega$ 而言，$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續
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Comment:
1. 對於布朗運動有兩種常見的修正變體，稱作 算術布朗運動 Arithmetic Brownian Motion (ABM) 與 幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion (GBM)。有興趣的讀者可以參閱本部落格內相關文章。

現在我們首先看個 Brownian motion 的結果：



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FACT 1:
給定 $B_t$ 為 Brownian motion 則 $E[B_t] = 0$ 且 $E[B_t^2] = \sigma^2t$ 以及 $Var[B_t^2]=  E[B_t^2]  =\sigma^2 t$
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Proof: omitted (easy to show).


Comments: 除了透過定義求證上述 FACT 之外，我們還有其他方法值得一提：回憶 Brownian motion 滿足 $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$，故我們可以利用 Moment Generating Function (mgf) 來求得對應的 一階動差 與 二階動差 ，回憶 mgf 定義 我們可寫下
$${M_{{B_t} - {B_s}}}(q): = E[{e^{q\left( {{B_t} - {B_s}} \right)}}] = \exp \left( {\frac{{{q^2}{\sigma ^2}}}{2}{{\left( {t - s} \right)}}} \right)$$ 由此不難求得 FACT 1 所給出的待求的各項。




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FACT 2:
考慮 $W_t$ 為 Brownian motion，現若給定任意時間 $t_1, t_2$，則其對應的 covariance 為
$$cov(W_{t_1} W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1, t_2)$$ ==================

Proof
首先注意到給定任意 $t>0$，$E[W_t - W_0] = 0$，亦即 $E[W_t] =0$。現在給定 $t_1, t_2$；在不失一般性情況下我們令 $t_2 > t_1$，由 covariance 的定義可知
$$\begin{array}{l}  \Rightarrow cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {\left( {{W_{{t_1}}} - E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]} \right)\left( {{W_{{t_2}}} - E\left[ {{W_{{t_2}}}} \right]} \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right) + {W_{{t_1}}}} \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right)} \right] + E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_1}}}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \underbrace {E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0}\underbrace {E\left[ {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0} + E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right] \end{array}$$ 最後一行等號成立由於 Brownian motion 的 independent increment，故現在我們有
$$cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{W_{{t_1}}} - {W_0}} \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}{t_1}$$
注意到如果我們當初讓 $t_1 > t_2$，則有 $cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 t_2$，故總結如下：
$$cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1,t_2). \ \ \ \ \ \square$$





後記：布朗運動性質與相關研究 非常非常廣泛，有興趣讀者可以閱讀 Stochastic Process/Stochastic Calculus  或者 Advanced Probability 相關書籍或者論文。