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[隨機過程] 隨機過程淺淺談(III) - Brownian motion (or Wiener Process)

這次要介紹的是 隨機過程中一個極為重要的過程,稱作
布朗運動(Brownian motion) or 維納過程(Wiener process)

介紹定義之前先看一下 布朗運動 長什麼樣子
上圖黑線部分即為布朗運動的實現 (Realization);或稱 sample path。
可以發現
  1. Brownian motion 的 sample path 非常不規則(very wiggly),(此不規則性質將導致對任意一處都無法微分)
  2. Brownian motion 隨著時間增大的時候,其散開程度 (之後會用 variance 描述) 越明顯

有了上述直覺之後我們看定義會比較清楚。

以下是 Brownian motion 的定義
===================
Definition: (Standard Brownian Motion or Wiener Process)
一個實數連續時間的隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個標準布朗運動(Standard Brownian Motion),如果其滿足下列四個性質:

(1) $B_0 =0$ almost surely (亦即: 機率 $P(\{B_0 =0\}) =1$)

(2) 考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 互為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量增量彼此獨立;亦即對任意 $0=t_0 < t_1 < ... < t_n$,隨機變數
\[
\{ B_{t_1} - B_{t_0}, B_{t_2} - B_{t_1}, ..., B_{t_n} - B_{t_{n-1}} \text{are independent}\}
\](3) 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

(4) 對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續;亦即
\[
P(\{ \omega \in \Omega: B_t(\omega) \text{ is a continuous function of $t$}\}) =1
\]
===========================

Comments:
1. 注意到性質 (4),布朗運動為"連續"函數,(但處處不可微分;此性質會在之後再作介紹。)
2. 若性質(3) 改為 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即
$$
B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))
$$ 我們稱此為 Brownian motion (不再是 "standard" Brownian motion),也就是說 $\sigma =1$ 稱為 standard Brownian motion

3. 由於性質(3),布朗運動增量服從高斯分佈,故另外布朗運動還有一個等價定義,
4. 上述 Brownian motion 可透過 MATLAB 進行模擬,有興趣的讀者我們將 MATLAB 程式碼給出如下:



===================
Definition: (Standard Brownian Motion is a Gaussian Process)
一個實數連續時間的標準布朗運動隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個
mean 為 $E[B_t]=0$ 且 covariance 為 $E[B_s B_t] = s \wedge t$ 的高斯過程(Gaussian Process)
且對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續
===========================

Comment:
1. 對於布朗運動有兩種常見的修正變體,稱作 算術布朗運動 Arithmetic Brownian Motion (ABM) 與 幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion (GBM)。有興趣的讀者可以參閱本部落格內相關文章。

現在我們首先看個 Brownian motion 的結果:



==================
FACT 1:
給定 $B_t$ 為 Brownian motion 則 $E[B_t] = 0$ 且 $E[B_t^2] = \sigma^2t$ 以及 $Var[B_t^2]=  E[B_t^2]  =\sigma^2 t$
==================
Proof: omitted (easy to show).


Comments: 除了透過定義求證上述 FACT 之外,我們還有其他方法值得一提:回憶 Brownian motion 滿足 $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$,故我們可以利用 Moment Generating Function (mgf) 來求得對應的 一階動差 與 二階動差 ,回憶 mgf 定義 我們可寫下
\[{M_{{B_t} - {B_s}}}(q): = E[{e^{q\left( {{B_t} - {B_s}} \right)}}] = \exp \left( {\frac{{{q^2}{\sigma ^2}}}{2}{{\left( {t - s} \right)}}} \right)\]由此不難求得 FACT 1 所給出的待求的各項。




==================
FACT 2:
考慮 $W_t$ 為 Brownian motion,現若給定任意時間 $t_1, t_2$,則其對應的 covariance 為
\[
cov(W_{t_1} W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1, t_2)
\]==================

Proof
首先注意到給定任意 $t>0$,$E[W_t - W_0] = 0$,亦即 $E[W_t] =0$。現在給定 $t_1, t_2$;在不失一般性情況下我們令 $t_2 > t_1$,由 covariance 的定義可知
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {\left( {{W_{{t_1}}} - E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]} \right)\left( {{W_{{t_2}}} - E\left[ {{W_{{t_2}}}} \right]} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right) + {W_{{t_1}}}} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right)} \right] + E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_1}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \underbrace {E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0}\underbrace {E\left[ {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0} + E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right]
\end{array}\]最後一行等號成立由於 Brownian motion 的 independent increment,故現在我們有
\[cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{W_{{t_1}}} - {W_0}} \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}{t_1}
\]
注意到如果我們當初讓 $t_1 > t_2$,則有 $cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 t_2$,故總結如下:
\[
cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1,t_2). \ \ \ \ \ \square
\]





後記:布朗運動性質與相關研究 非常非常廣泛,有興趣讀者可以閱讀 Stochastic Process/Stochastic Calculus  或者 Advanced Probability 相關書籍或者論文。


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