[投資理論] 利率 與連續複利 問題

這次要介紹 投資理論中一個重要但又容易搞混的概念：利率 (Interest Rates)

首先是關於 無風險利率 (Risk-free interest rates)
一般而言被當作是無風險利率主要有兩種：

1. Treasury rates
2. LIBOR (London Interbank Offered Rate)

Treasury rates:
主要是由投資人購買Treasury securities, e.g., Treasury bond, Treasury notes 所採用的利率。

LIBOR:
中文稱作 倫敦銀行同業拆息 為英國銀行間的短期資金借貸款採用的利率。此利率每個營業日都可能不同。

有了以上的概念之後，我們來思考一件事，就是 Interest Rates 該如何計算?

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Example: (Compounding Frequencies matters)

考慮將現金量 $A_0$ 放置某銀行存款，且其年利率 $10 \%$，則一年之後 $A_1$會得到多少錢回來呢??

在回答這個問題之前，必定要先問 此利率的計息次數 (Compounding frequencies) 是怎麼定的。比如說是一年計算利息一次? 還是半年計息一次? 還是三個月計息一次。

以一年計息一次為例，則一年後可得回的金額為

$$A_1 = A_0 (1 + 10 \%)^1$$ 若以一年計息兩次 (亦即半年計息一次)為例，則一年後可得回的金額為

$$A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{2})^2$$ 若以一年計息四次 (亦即三個月計息一次) 為例，則一年後可得回的金額為

$$A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{4})^4$$

現在考慮如果 年利率 $r \%$ 為每年計息 $m$ 次，則一年後可得回的金額為

$$A_1 = A_0 (1 + \frac{r}{m})^m$$ 那麼現在如果 $t$ 年後呢?
$$A_t = A_0 (1 + \frac{r}{m})^{mt}$$

有了上述概念之後，我們來考慮如果年利率為 $r \%$，且每年計息 $\infty$ 次，則我們稱此利息為連續複利(continuous compounding interest rate, $r_c$ )，其與前述複利 $r$ 的定義有如下關係：
$$\begin{array}{l} {A_t} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {A_0}{(1 + \frac{r}{m})^{mt}} = {A_0}{e^{rt}}\\  \Rightarrow {A_t} = {A_0}{e^{rt}} \end{array}$$ 也許你會說上述每年計息無窮次根本不會發生，但我們可利用 一年365天每天都計息來逼近也就是說我們取 $m = 365$，則得到的利率會接近上述連續複利的利率，我們將其定義如下：
連續複利的利率 $r_c$ 與 原本利率 $r$ 之間有如下關係：
$$e^{r_c} := (1+ \frac{r}{m})^m$$

Comments:
1. 一般而言，我們亦可由微分方程觀點來看連續複利問題：假設在 $t$ 年之後投資人帳戶為 $A(t)$ 則在 $\Delta t$ 年之間時，其帳戶可近似為 $A(t) r \Delta t$ 因此
$$A(t + \Delta t) - A(t) \approx r A(t) \Delta t$$ 現在對上式同除 $\Delta t$ 且令 $\Delta t \to 0$ 則我們可得以下微分方程
$$A'(t) = r A(t)$$ 若假設 $A_0$ 為初始帳戶，則對下列初始值問題
$$A'(t) = r A(t), \;\;\; A(0) = A_0$$ 的解為
$$A(t) = A_0 e^{rt}, \;\; t\ge 0$$
2. 注意到跟投資人如果跟銀行借款，那麼一樣要付出利息，計算方法同上。


以下我們提及一個有趣的 規則，稱作 Seven-Ten Rule ：

Seven-Ten Rule ：每年投資假設利率為 7% ，則大約十年之後資產可以翻倍。每年投資假設利率為 10 % 則大約七年之後資產可以翻倍。