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[隨機過程] 隨機過程淺淺談(III) - Brownian motion (or Wiener Process)

這次要介紹的是 隨機過程中一個極為重要的過程,稱作
布朗運動(Brownian motion) or 維納過程(Wiener process)

介紹定義之前先看一下 布朗運動 長什麼樣子
上圖黑線部分即為布朗運動的實現 (Realization);或稱 sample path。
可以發現
  1. Brownian motion 的 sample path 非常不規則(very wiggly),(此不規則性質將導致對任意一處都無法微分)
  2. Brownian motion 隨著時間增大的時候,其散開程度 (之後會用 variance 描述) 越明顯

有了上述直覺之後我們看定義會比較清楚。

以下是 Brownian motion 的定義
===================
Definition: (Standard Brownian Motion or Wiener Process)
一個實數連續時間的隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個標準布朗運動(Standard Brownian Motion),如果其滿足下列四個性質:

(1) $B_0 =0$ almost surely (亦即: 機率 $P(\{B_0 =0\}) =1$)

(2) 考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 互為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量增量彼此獨立;亦即對任意 $0=t_0 < t_1 < ... < t_n$,隨機變數
\[
\{ B_{t_1} - B_{t_0}, B_{t_2} - B_{t_1}, ..., B_{t_n} - B_{t_{n-1}} \text{are independent}\}
\](3) 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

(4) 對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續;亦即
\[
P(\{ \omega \in \Omega: B_t(\omega) \text{ is a continuous function of $t$}\}) =1
\]
===========================

Comments:
1. 注意到性質 (4),布朗運動為"連續"函數,(但處處不可微分;此性質會在之後再作介紹。)
2. 若性質(3) 改為 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即
$$
B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))
$$ 我們稱此為 Brownian motion (不再是 "standard" Brownian motion),也就是說 $\sigma =1$ 稱為 standard Brownian motion

3. 由於性質(3),布朗運動增量服從高斯分佈,故另外布朗運動還有一個等價定義,
4. 上述 Brownian motion 可透過 MATLAB 進行模擬,有興趣的讀者我們將 MATLAB 程式碼給出如下:



===================
Definition: (Standard Brownian Motion is a Gaussian Process)
一個實數連續時間的標準布朗運動隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個
mean 為 $E[B_t]=0$ 且 covariance 為 $E[B_s B_t] = s \wedge t$ 的高斯過程(Gaussian Process)
且對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續
===========================

Comment:
1. 對於布朗運動有兩種常見的修正變體,稱作 算術布朗運動 Arithmetic Brownian Motion (ABM) 與 幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion (GBM)。有興趣的讀者可以參閱本部落格內相關文章。

現在我們首先看個 Brownian motion 的結果:



==================
FACT 1:
給定 $B_t$ 為 Brownian motion 則 $E[B_t] = 0$ 且 $E[B_t^2] = \sigma^2t$ 以及 $Var[B_t^2]=  E[B_t^2]  =\sigma^2 t$
==================
Proof: omitted (easy to show).


Comments: 除了透過定義求證上述 FACT 之外,我們還有其他方法值得一提:回憶 Brownian motion 滿足 $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$,故我們可以利用 Moment Generating Function (mgf) 來求得對應的 一階動差 與 二階動差 ,回憶 mgf 定義 我們可寫下
\[{M_{{B_t} - {B_s}}}(q): = E[{e^{q\left( {{B_t} - {B_s}} \right)}}] = \exp \left( {\frac{{{q^2}{\sigma ^2}}}{2}{{\left( {t - s} \right)}}} \right)\]由此不難求得 FACT 1 所給出的待求的各項。




==================
FACT 2:
考慮 $W_t$ 為 Brownian motion,現若給定任意時間 $t_1, t_2$,則其對應的 covariance 為
\[
cov(W_{t_1} W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1, t_2)
\]==================

Proof
首先注意到給定任意 $t>0$,$E[W_t - W_0] = 0$,亦即 $E[W_t] =0$。現在給定 $t_1, t_2$;在不失一般性情況下我們令 $t_2 > t_1$,由 covariance 的定義可知
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {\left( {{W_{{t_1}}} - E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]} \right)\left( {{W_{{t_2}}} - E\left[ {{W_{{t_2}}}} \right]} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right) + {W_{{t_1}}}} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right)} \right] + E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_1}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \underbrace {E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0}\underbrace {E\left[ {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0} + E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right]
\end{array}\]最後一行等號成立由於 Brownian motion 的 independent increment,故現在我們有
\[cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{W_{{t_1}}} - {W_0}} \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}{t_1}
\]
注意到如果我們當初讓 $t_1 > t_2$,則有 $cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 t_2$,故總結如下:
\[
cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1,t_2). \ \ \ \ \ \square
\]





後記:布朗運動性質與相關研究 非常非常廣泛,有興趣讀者可以閱讀 Stochastic Process/Stochastic Calculus  或者 Advanced Probability 相關書籍或者論文。


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Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質:

(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=…

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
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現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

"A if and only if B" "A iff…