[測度論] 關於 Almost Everywhere

給定測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$我們說 某性質 $P$ almost everywhere 成立 意思是 對所有非零測度集合此性質 $P$ 都成立。(換言之，除零測度集之外，此性質 $P$ 都成立。)

Lemma:
假設 $f(x) \geq 0$ 且 $f$ 為 $(\mathcal{M}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ 可測。假設 $\int f d\mu = 0$ 則 $f(x) = 0$ almost everywhere (i.e., $\mu\{x: f(x)>0\} = 0$)

Proof:
令 $E:= \{x:f(x)>0\}$，我們要證明 $\mu(E) = 0$ 。為此，我們首先證明 $\mu(E_n) = 0$ 其中 $E_n :=\{x: f(x) > 1/n\}$。觀察以下事實 $\cup_n E_n = E$ 且 $E_n \uparrow E$。

觀察
\[
\mu(E_n) := \int 1_{E_n}  \;\;\;\;(*)
\]注意到對任意 $x\in E_n$，我們有 $f(x) > 1/n $，此等同於 $n f(x) > 1$ ，故對任意 $x\in E_n$， $nf(x) 1_{E_n}(x) > 1 \cdot 1_{E_n}(x)$ 。將此用到 $(*)$ 我們得到
\[
\mu(E_n) = \int 1_{E_n} < \int nf(x)1_{E_n} \leq \int nf(x) =n \underbrace{\int f(x) d\mu(x)}_{=0}
\]亦即
\[
\mu(E_n) = 0
\]最後我們檢驗
$$\mu(E) = \mu(\cup_n E_n) = \lim_n \mu(E_n) = 0$$即為所求。$\square$


Lemma 2:
給定 測度空間 $(X,\mathcal{M}, \mu)$ 且 $\mu$ 為complete measure，若 $f$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable 且 $f=g$ almost everywhere 則 $g$ 亦為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable。

Proof:
要證明 $g$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable，我們令 $I:=[a,\infty] \in \overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} $ 且僅需證明
$$
g^{-1}(I) \in \mathcal{M}
$$
為此，我們定義集合
\[
M:=\{x: f(x) \neq g(x)\}
\]且 $M \subset N$ 其中 $N$ 為 null set 滿足 $N \in \mathcal{M}$，亦即 $\mu(N)=0$ (故 $
\mu(M)=0$)。觀察
$$
g^{-1}(I) = \underbrace{(g^{-1}(I) \cap M^c)}_{\in \mathcal{M}} \cup \underbrace{(g^{-1}(I)\cap M)}_{\subset N \in \mathcal{M}} \in \mathcal{M}
$$至此證明完畢。$\square$

Lemma 3
令 $\{f_n\}$ 為在 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 上的 measurable 函數數列，若 $\mu$ 為 complete measure，且 $\lim_n f_n(x)  = f(x)$ almost everywhere 則 $f$ 為 measurable 。

Proof:
注意到如果 $\lim_n f_n(x) = f(x)$ 逐點收斂，則 $f$ 必然為 measurable (因為 $\lim f_n = \limsup f_n = \liminf_n f_n$ 且 $\limsup f_n$ 與 $\liminf f_n$ 都 measurable)。若 $\lim_n f_n(x) = f(x)$ almost everywhere 令 $N:=\{x: \lim_n f_n(x) \text{ does not exists}\}$ 且 $N \in \mathcal{M}$ 且 $\mu(N)=0$。定義新的函數 $g_n : X \to [-\infty,\infty]$ 滿足
\[ g_n(x):= \begin{cases}
      f_n(x) & x \in N^c \\
      0 & x \in N
   \end{cases}
\]則對任意 $x\in X$，$\lim_n g_n(x)$ 存在，因為
\[ \lim_n g_n(x):= \begin{cases}
      f(x) & x \in N^c \\
      0 & x \in N
   \end{cases} \;\;\;\;(*)
\]將此極限記作 $g(x) := \lim_n g_n(x)$。由於 $N^c,N \in \mathcal{M}$ 故 $g$ 為 mesurable。除此之外，由 $(*)$ 我們得到 $g(x) = f(x)$ almost everywhere。由 Lemma 2 可知 $f$ 為 mesurable。至此證明完畢。 $\square$

[測度論] Almost Uniform Convergence (1) 定義 與 經典例子

Definition: 令 $f_n, f$ 為 complex-valued measurable 函數，我們說 $f_n \to f$ almost uniformly 若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon>0$，存在可測集 $E_\varepsilon$ 滿足 $\mu(E_\varepsilon)<\varepsilon$ 使得
\[
f_n \to f \text{ uniformly on $E_\varepsilon^c$}
\]換言之，$\sup_{x \in X\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。

Example:
考慮 測度空間 $([0,1],\mathcal{L},m)$，取 $f_n(x) := x^n$ ，則
1. $f_n \not \to f$ uniformly
2. $f_n \to f$ almost uniformly

Proof 1.:
首先注意到 $$
\lim_n f_n(x) := f(x) =  \begin{cases}
      0 & x \in [0,1) \\
      1 & x = 1
   \end{cases}
$$ 觀察 $$
\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \not\to 0
$$故 $f_n \not\to f$ uniformly。$\square$

Proof 2: 令 $\varepsilon \in (0,1)$ 取 $E_\varepsilon :=(1-\varepsilon/2, 1]$ 則 $\mu(E_\varepsilon) = \varepsilon/2 < \varepsilon$ 且對任意 $x \in [0,1] \setminus E_\varepsilon$ 而言，
\begin{align*}
\sup_{x \in [0,1]\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| &=  \sup_{x \in [0, 1-\varepsilon/2]}|x^n-0|\\
&=(1-\varepsilon/2)^n  \to 0 \;\; \text{ as $n \to \infty$}
\end{align*}
至此證明完畢。$\square$