[測度論] 關於 Almost Everywhere

給定測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$我們說 某性質 $P$ almost everywhere 成立 意思是 對所有非零測度集合此性質 $P$ 都成立。(換言之，除零測度集之外，此性質 $P$ 都成立。)

Lemma:
假設 $f(x) \geq 0$ 且 $f$ 為 $(\mathcal{M}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ 可測。假設 $\int f d\mu = 0$ 則 $f(x) = 0$ almost everywhere (i.e., $\mu\{x: f(x)>0\} = 0$)

Proof:
令 $E:= \{x:f(x)>0\}$，我們要證明 $\mu(E) = 0$ 。為此，我們首先證明 $\mu(E_n) = 0$ 其中 $E_n :=\{x: f(x) > 1/n\}$。觀察以下事實 $\cup_n E_n = E$ 且 $E_n \uparrow E$。

觀察
\[
\mu(E_n) := \int 1_{E_n}  \;\;\;\;(*)
\]注意到對任意 $x\in E_n$，我們有 $f(x) > 1/n $，此等同於 $n f(x) > 1$ ，故對任意 $x\in E_n$， $nf(x) 1_{E_n}(x) > 1 \cdot 1_{E_n}(x)$ 。將此用到 $(*)$ 我們得到
\[
\mu(E_n) = \int 1_{E_n} < \int nf(x)1_{E_n} \leq \int nf(x) =n \underbrace{\int f(x) d\mu(x)}_{=0}
\]亦即
\[
\mu(E_n) = 0
\]最後我們檢驗
$$\mu(E) = \mu(\cup_n E_n) = \lim_n \mu(E_n) = 0$$即為所求。$\square$


Lemma 2:
給定 測度空間 $(X,\mathcal{M}, \mu)$ 且 $\mu$ 為complete measure，若 $f$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable 且 $f=g$ almost everywhere 則 $g$ 亦為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable。

Proof:
要證明 $g$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable，我們令 $I:=[a,\infty] \in \overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}} $ 且僅需證明
$$
g^{-1}(I) \in \mathcal{M}
$$
為此，我們定義集合
\[
M:=\{x: f(x) \neq g(x)\}
\]且 $M \subset N$ 其中 $N$ 為 null set 滿足 $N \in \mathcal{M}$，亦即 $\mu(N)=0$ (故 $
\mu(M)=0$)。觀察
$$
g^{-1}(I) = \underbrace{(g^{-1}(I) \cap M^c)}_{\in \mathcal{M}} \cup \underbrace{(g^{-1}(I)\cap M)}_{\subset N \in \mathcal{M}} \in \mathcal{M}
$$至此證明完畢。$\square$

Lemma 3
令 $\{f_n\}$ 為在 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 上的 measurable 函數數列，若 $\mu$ 為 complete measure，且 $\lim_n f_n(x)  = f(x)$ almost everywhere 則 $f$ 為 measurable 。

Proof:
注意到如果 $\lim_n f_n(x) = f(x)$ 逐點收斂，則 $f$ 必然為 measurable (因為 $\lim f_n = \limsup f_n = \liminf_n f_n$ 且 $\limsup f_n$ 與 $\liminf f_n$ 都 measurable)。若 $\lim_n f_n(x) = f(x)$ almost everywhere 令 $N:=\{x: \lim_n f_n(x) \text{ does not exists}\}$ 且 $N \in \mathcal{M}$ 且 $\mu(N)=0$。定義新的函數 $g_n : X \to [-\infty,\infty]$ 滿足
\[ g_n(x):= \begin{cases}
      f_n(x) & x \in N^c \\
      0 & x \in N
   \end{cases}
\]則對任意 $x\in X$，$\lim_n g_n(x)$ 存在，因為
\[ \lim_n g_n(x):= \begin{cases}
      f(x) & x \in N^c \\
      0 & x \in N
   \end{cases} \;\;\;\;(*)
\]將此極限記作 $g(x) := \lim_n g_n(x)$。由於 $N^c,N \in \mathcal{M}$ 故 $g$ 為 mesurable。除此之外，由 $(*)$ 我們得到 $g(x) = f(x)$ almost everywhere。由 Lemma 2 可知 $f$ 為 mesurable。至此證明完畢。 $\square$