[三角函數] 一類 離散餘弦取負值的條件

Claim 1: 令 $\omega \in (0, \pi/2)$，則 存在 正整數 $k $ 使得
\[
\cos(\omega k ) <0
\]==========

Proof: 首先回憶 floor 函數：對任意 $x \in \mathbb{R}$， $\lfloor x \rfloor$具備以下性質
\[
x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x
\]現在給定 $0 < \omega < \pi/2$，並取
\[
k := 1 + \bigg \lfloor \frac{\pi}{2\omega} \bigg\rfloor
\]則利用前述的 floor 函數性質，我們有
\[
\frac{\pi}{2\omega} < k \leq 1 + \frac{\pi}{2\omega}
\]兩邊同乘 $\omega$ 則
\[
\frac{\pi}{2} < \omega k \leq \omega + \frac{\pi}{2}
\]因為 $\omega \in (0, \pi/2)$，我們可以進一步取上述不等式右方的上界，亦即 $ \omega + \frac{\pi}{2} < \pi$。故
\[
\omega k \in \bigg(\frac{\pi}{2}, \pi \bigg) \subset \bigg( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\bigg)
\]注意到對任意 $\theta \in  \bigg( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\bigg)$， $\cos \theta < 0$ ，故 $\cos(\omega k) < 0$。至此得證。 $\square$



Comment: 我們可將 claim 1 結果進一步推廣到包含有相位的情況：




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Claim 2: 令 $\omega \in (0, \pi/2)$ 且 $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$，則 存在 整數 $k >2$ 使得
\[
\cos(\omega(k- 1) + \theta) <0
\]==========

Proof: 令
\[
k_0 := 1 + \bigg\lfloor \frac{\pi/2 - \varphi}{\omega} \bigg\rfloor
\]則不難驗證 $\omega k_0 + \varphi \in (\pi/2, \pi)$ ，故 $\cos(\omega k_0 + \varphi) <0$。現在若取 $k_1 := k_0 + 1$ 則
\[
\cos(\omega (k_1-1) + \varphi)<0
\]至此得證。 $\square$