[線性代數] 構造 正定矩陣 其元素含有負值的例子

首先回憶 正定 (positive definite)矩陣 定義:

Definition: 令 $Q \in \mathbb{R}^{n\times n}$且 $Q^T=Q$。我們說 $Q$ 為 positive definite 若下列條件成立: 對任意 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 且 ${\bf x} \neq {\bf 0}$,
$$
{\bf x}^TQ{\bf x}>0
$$


我們想問是否有可能構造出一正定矩陣其部分元素取值為負。答案是肯定的。請看以下例子:

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Example: 
令 $Q = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$。試証 $Q$ 為 positive definite。
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Proof: 首先注意到 $Q^T=Q$ 為顯然。故我們僅需証明 對任意 ${\bf x} \neq 0$, ${\bf x}^TQ{\bf x}>0。$為此，取${\bf x}=[x_1\;\;x_2]^T$ 且 $x_1,x_2$不全為零， 觀察
$$
{\bf x}^TQ{\bf x} = [x_1 \;\; x_2]  \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \end{bmatrix} = 2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2$$上述稱為 矩陣二次式(quadratic form)。

以下我們分幾個情況討論：

Case 1: 若 $x_2 \neq 0$ 且 $x_1 \neq 0$：
若 $x_1\geq x_2$ ，則 $2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2 \geq 2x_2^2>0$
若 $x_2 \geq x_1$，則 $2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2 \geq 2x_1^2>0$

Case 2: 若 $x_2 \neq 0$ 且 $x_1 = 0$：則我們有
$$
 2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2 = 2x_2^2 > 0
$$

Case 3: 若 $x_1 \neq 0$ 且 $x_2 = 0$：則我們有
$$
 2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2 = 2x_1^2 > 0
$$
綜合以上所述，$Q$ 為 positive definite。至此証明完畢。 $\square$


Comments:
1. 熟習 positive definiteness 性質的讀者可以知道有另一等價定義可以快速檢查 此性質：亦即若對稱矩陣 $Q$ 的 eigenvalue 為正數，則 $Q$ 為 positive definite。上述例子中，$Q$ 的 eigenvalues 不難計算可得 $1,3$ 故滿足此性質，$Q$ 為 positive definite。

2. 當然，positive definiteness 性質還有諸多其他常用的定義比如 leading principal 或者透過 pivots 在此我們不贅述。