[機器學習] 回歸問題應用例：Dow Jones 指數的 回歸模型估計

考慮歷史 Dow Jones 指數如下圖所示

令 $v(t)$ 表示 從1795年到 2019年每年的 Dow Jones 指數其中 $t=1,1,\ldots,T$ 且 $t=1$表示 1795年，$t=T$表示至今 (上圖為2019年，但任意年皆可)。由上圖，我們假設 $v_t$ 可由以下 指數函數 近似：亦即  $v: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 滿足
$$v(t):= e^{at+b}$$ 其中  $t=1,...,T$，$a,b$ 為 待估計參數。我們想問是否能找出 $a,b$ 使得我們可以用此模型來預估未來 Dow Jones 指數的走向：

上述問題可化簡為回歸問題。首先對 $v_t$ 等式兩邊同取 $\log$，我們可得
$$\log v(t) = at+b$$ 故對任意 $t=1,...,T$我們有
$$\begin{bmatrix}\log v(1)\\\log v(2)\\ \vdots \\ \log v(T) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1\\ \vdots & \vdots \\ T & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\end{bmatrix}$$
令  ${\bf x}=[a \;\; b]^T$，${\bf b}=\begin{bmatrix}\log v(1) & \log v(2) & \vdots \log v(T) \end{bmatrix}^T$ 且 $$A:=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1\\ \vdots & \vdots \\ T & 1  \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{T \times 2}$$ 則我們得到 $A{\bf x} = {\bf b}$ 。由於 $T>>2$，方程 $A{\bf x} = {\bf b}$無解 (參閱 comment 2)，但我們可問是否有近似解。為此， 欲求解 ${\bf x}$ 一種常見的手段是採用最小平方法：考慮以下無拘束最小平方最佳化問題
$$\min_{{\bf x} \in \mathbb{R}^2 }\|A{\bf x} - {\bf b}\|_2^2$$ 讀者不難驗證上述問題之解必定滿足以下 normal equation
$$A^TA{\bf x} = A^T {\bf b}$$ 由於 $A$矩陣之 columns 為線性獨立，$A^TA$為 positive definite 其反矩陣存在，故可得解
$$\begin{align*} \widehat{{\bf x}}&:=(A^TA)^{-1}A^T{\bf b} \end{align*}$$

Comments:
1. 讀者可進一步分析
$$A^TA = \begin{bmatrix}1 & 2& \cdots &T\\ 1 & 1 & \cdots & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1\\ \vdots & \vdots \\ T & 1  \end{bmatrix}   = \begin{bmatrix} \sum_{t=1}^T t^2 & \sum_{t=1}^T t \\ \sum_{t=1}^T t & T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{T(T+1)(2T+1)}{6} & \frac{T(T+1)}{2} \\ \frac{T(T+1)}{2} & T \end{bmatrix}$$ 故其反矩陣
$$(A^TA)^{-1} = \frac{1}{\frac{T^2(T+1)(2T+1)}{6} -  \bigg(\frac{T(T+1)}{2} \bigg)^2 } \begin{bmatrix} T & - \frac{T(T+1)}{2} \\ - \frac{T(T+1)}{2} &  \frac{T(T+1)(2T+1)}{6}  \end{bmatrix}$$


2. 令 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$，${\bf b}\in\mathbb{R}^{m}$，${\bf x} \in \mathbb{R}^n$。考慮 $A{\bf x} = {\bf b}$為一線性系統方程。我們說此系統有解 若且唯若
$$rank(A) = rank([A|{\bf b}])$$ 在上述 Dow Jones 指數的例子中，讀者不難驗證 $rank(A)=2$ 但是 $rank([A|{\bf b}])=3$。故原方程 $A{\bf x} = {\bf b}$無解。